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Matematica. — Nuove regole per la riduzione degli inte- 

 grali multipli generalizzati di Riemann. Nota II di Mauro Pi- 

 cone, presentata dal Socio L. Bianchi 0). 



Si ha, inversamente, il 



Teorema II. — Se la funzione f è commutabile in G, essa pos- 

 siede un integrute generalizzato (R) esteso al dominio E, ed è 



(L) J G fal> = (R) f^fdP 



Si ha invero 



(L) f fdP = lim 5 (D \jW \ = lim \ (R) CfdP ! . 



Possiamo, dopo i teoremi I e II, enunciare il 



Teorema III. — Se l'insieme F in un dominio E dei punti singo- 

 lari per V integrabilità (R) di una funzione f è misurabile ( J), condizione 

 necessaria e sufficiente affinchè la funzione f ammetta un integrale gene- 

 ralizzato (R) esteso ad E , è che essa sia sommabile in G = E — P , Si 

 avrà allora 



(R) f f{?) d? = lim f A?) <2P = (L) C AP) ^ P • 



3. Si consideri una particolare successione, avente per limite G — H , 

 di dominii 



(3) A l , A 2 , ... , A n , ... 



tutti contenuti in G e, ciascuno, contenente il precedente. Può darsi che la 

 successione 



(6) f f(P)d?,..., f f(P)d?,... 



J Ai J A n 



ammetta un limite determinato e finito, senza che la funzione /' possieda 

 un integrale generalizzato (R) esteso ad E; è però evidente che, se f pos- 

 siede un tale integrale, poiché lim (mA n ) = mG , esiste il limite della 



'« = 00 



successione (6), ed esso è l' integrale indicato. 



(*) Pervenuta all'Accademia il 25 settembre 1919. 



