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Sussiste però il teorema, talvolta utile in pratica : 



Condizione necessaria e sufficiente affinchè la funzione f possieda 

 un integrale generalizzalo (R) esteso ad E, è che esista una particolare 

 successione (3) per cui 



(7) f \f(P)\d? 



sia limitato rispetto ad n. 



La condizione è evidentemente necessaria. Dimostriamone la sufficienza. 

 Se l'integrale (7) è limitato rispetto ad n . poiché esso non decresce al cre- 

 scere di n, comunque si assegni un numero positivo «, si potrà determinare 

 un valore v di n tale che, qualunque sia il numero iutiero e positivo fi, 

 risulti : 



(8) f \f{V)\d?- \ |/(P)|dP<-|-. 



Poiché \f\ è integrabile (R) in A Hì esiste un numero positivo ó tale 

 che, per ogni dominio A. contenuto in A^ e di misura non superiore 

 a ó, sia 



[ t l/(P)ÌrfP<-|-. 



Dico che allora (e ciò dimostra il nostro teorema), per ogni dominio A 

 contenuto in Gr e di misura non superiore a ó. risulta 



(9) jjf(P)\d?<s. 



Ed invero, esisterà sempre un valore di fi tale che A sia contenuto 

 in ^/v+u- Poniamo A' = A^A,A" = A — A'; si avrà 



jj f(P)\ d? =f A ,\f(P) ì d? + £., |f(P)| dP , 



Jj/(P)|dP<y, 



r i/(p)iap< r i/-(P)i^p= 



J A -sAv+y. — A\) 



-£^I/WI*-J>WI*<T- 



e quindi la (9). 



4. Per la riduzione dell'integrale generalizzato (R) di / esteso al do- 

 minio E, cominciamo dall'osservare che se si aggiungono a G = E — Fi 



