punti della frontiera di F comuni a quella di G, otteniamo un dominio E' 

 di misura- eguale a quella di G , ed è 



L'insieme dei punti singolari per l'integrabilità (R) di f in E' è un 

 insieme [chiuso di misura (J) nulla] contenuto nella frontiera di E'. Pos- 

 siamo pertanto limitarci a considerare un integrale generalizzato (R) esteso 

 ad un dominio E, per una funzione /' per cui l'insieme F dei punti singo- 

 lari per la sua integrabilità (R) è contenuto nella frontiera di E. 



Ci limiteremo anche, per brevità, a considerare il caso dei dominii E 

 a due dimensioni, essendo immediata l'estensione al caso di un numero qua- 

 lunque di dimensioni. 



Diciamo J un rettangolo chiuso, a lati paralleli agli assi coordinati, 

 limitato dalle rette a: = a.\ , x = a 2 ; y — b x , y = b 2 contenente nel suo 

 interno il dominio E. Prolunghiamo la funzione f all'esterno di E ed in 

 tutto z/, dando ad f il valore zero in ogni punto di J esterno ad E. È 

 evidente che la funzione f è integrabile (R) in ogni dominio A contenuto 

 nell'insieme 4 — P e che l'insieme dei punti singolari in ./ per l'integra- 

 bilità (R) della f è sempre l'insieme F dei punti singolari in E. Se f pos- 

 siede un integrale generalizzato (R) esteso ad E, possiede anche un tale 

 integrale esteso a J e viceversa e si ha 



Possiamo dunque ulteriormente limitarci a considerare, in luogo del 

 dominio E, un rettangolo chiuso J(x = ai , x = « 2 ; y = bi , y .= b t ) per 

 il quale l'insieme dei punti singolari in J per l'integrabilità (R) della fun- 

 zione f è un insieme chiuso F, interno a i e di misura (J) nulla. 



Non perderemo però di vista il dominio E. 



Facciamo la seguente ipotesi : 



Ipotesi I a . . — Se si esclude un insieme X' di valori di £ in 

 («i, «s) di misura (lineare J) nulla, l'insieme dei punii, singolari in (b ìt b t ) 

 per l'integrabilità (R) della funzione , y) è di misura (lineare J) nulla. 



Se /' ammette un integrale generalizzato (R) esteso a J , essa è, per 

 il teorema III, sommabile in J\ ma allora, per il teorema di Fubini, 

 f(x,y) è, rispetto a y, sommabile in (/;, , b 2 ), per ogni valore di x in 

 {ai , a 2 ) fuori di un insieme X" di misura (lineare) nulla. Ne segue, per il 

 teorema III, che f(x,y), per ogni valore di x in (a, ,«<>), fuori di X' e 

 di X". ammette un integrale generalizzato (R) esteso a (b x ,b 2 ): 



