La funzione <p(x) è, di nuoro per il teorema di Fubini, comunque so 

 ne completi la definizione in X'-f-X", sommabile in (a l , a t ) , e si ha 



(B) f f(P)dP = (L) f f(P)dP = (L) C a *cp(x)dx. 



J<i Ja, 



Aggiungiamo ora l'ulteriore ipotesi: 

 Ipotesi 11^. — L'insieme dei punti singolari in (a x , a t ) p«r la 



integrabilità (R) della funzione g>(x) = (R) f ' f(x , y) dy è di misura 



(lineare J) nulla. 



Ne segue, in virtù del teorema III, che la funzione <p(x) possiede un 

 integrale generalizzato (R) esteso a (a, , a*), e che 



(f(x) dx = (R) (p(x) dx . 



Si ha dunque il 



Teorema IV. — Se l'insieme dei punti singolari nel rettangolo 4 

 per Vintegrhbilità (R) della funzione f(x , y) è di misura (J) nulla, mentre, 

 nelle ipotesi l x e \\ x , La f(x,y) ammette un integrale generalizzato (R) 

 esteso a 4 , sussiste la formola di riduzione 



(10) JJ^ f{x . y) dx dy =^ dx % f \x , y) dy , 



ove i segni di integrale sono di integrale generalizzato (R). 

 Ritornando al dominio E si ha, in particolare, il teorema: 

 Designino a x e a 2 i limiti inferiore e superiore della x per i punti 

 del dominio E , e supponiamo che, se si esclude un insieme di valori di £ 

 in (fli , a t ) di misura (lineare J) nulla, la sezione l(£) di E, con la retta 

 x = £ , sia un insieme misurabile ( J) ; allora se, nelle ipotesi l x e ll x , la 

 funzione f(x , y) ammette un integrale generalizzato (R) esteso a E, si ha: 



\ ) E f(x , y) dx dy == \^dx f f(x . y) dy , 



ove i segni di integrale sono di integrale generalizzalo (R). 



Indicheremo con ipotesi l y e Il ?/ le ipotesi i cui enunciati si ottengono da 

 quelli delle ipotesi 1^ e U x scambiando l'ufficio dell'asse x con quello del- 

 l'asse y . Si ha il seguente teorema di invertibilità dell'ordine di integrazione: 



Se l'insieme dei punti singolari nel rettangolo J per l'integrabi- 

 lità (R) della funzione f(x,y) è di misura (J) nulla, mentre, nelle ipo- 

 tesi \ x e l\ x , \ y e II ?/ , la funzione f(x,y) ammette un integrale gene- 

 ralizzato (R) esteso a J , si ha 



J~a a Chi . Cb% C a* 



"dx\ f(x,y)dy=\ dy f(x,y)dx, 

 a, Jo t Jbi J a, 



ove i segni di integrale sono di integrale generalizzato (R). 



