4. Caso in cui le (10) sono indipendenti fra lobo. — Poiché i 

 vettori u , ìix (supposti non nulli) sono fissi nel corpo, è chiaro che, per 

 l'indipendenza delle (10), anche kj sarà fisso nel corpo. Allora, scrivendo 

 la (6) sotto una nota forma [loc. cit. ( 2 ) a)] 



(6') k; = (k;) + co.uAk 1 = 



e osservando che, essendo ki fisso nel corpo, risulta (k{) = 0, si ottiene 



(11) u = k,; 



cioè « l'asse di rotazione del giroscopio risulta verticale » . Allora la (7) 

 porge 



(7 f ) eo'.uX au = 



e da qui, poiché per co 4= è u X «u 4= , risulta u> = cost. ; perciò si 

 conclude che « quando le (10) sono fra loro indipendenti, il giroscopio 

 " compie le rotazioni permanenti, di Stand e » [Journ. fur Mathem., 113, 

 pag. 318 (1894)]. 



5. Condizioni necessarie e sufficienti per l'esistenza di moti 

 giroscopici quando le (10) non sono indipendenti fra loro. — Poiché 

 la costante c è arbitraria, la prima delle equazioni (10) non può essere 

 uri identità; la seconda delle (10) può essere una conseguenza della prima 

 o una identità. Nella prima ipotesi, se ro è numero reale non nullo, si può 

 scrivere, tenendo conto della (9;, 



(12) m\\ = Ili = U A ali X g . ali — g X ali . Il A ali 



e da qui, moltiplicando scalarmente per uA«u, si ha la relazione 

 (lei) gX aii.fu Aau) 2 = 



la quale importa che deve sussistere almeno una delle due condizioni 

 (14) u A «u = , gX«u = 0. 



Ora si dimostra che, in entrambi i casi, risulta m — O e perciò si con- 

 clude che « la seconda delle (10), non potendo essere conseguenza della 

 « prima, è identità » . 



Supposto, infatti, u A au = 0, il secondo membro della (12) si annulla 

 identicamente e quindi, poiché è u 4= , risulta m = ; supposto-, invece, 

 gX«u = 0, la (8) porge, per w 4= , li A «u X g = e quindi dalla 

 (12) si deduce ancora m = , c. d. d. 



Ora, dal fatto che la seconda delle (10) è una identità, segue che il 

 vettore i^ è necessariamente nullo e quindi, per la (9), sussiste identica- 



Ebndiconti. 1919, Voi. XXVIII. 2° sera. 55 



