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r<2 1 ,a 2 ) per L'integrabilità (R) della f 'unzione 



g>(x) = (R)j^ V(* »y) ^ 



^ rf» misura (lineare J) nulla, sussiste la (10). 



È importante anche osservare che: 



Se funzione f(x , y) possiede un integrale generalizzato (R) esleso 

 al rettangolo z/, la funzione f(t,y) ammette sempra un integrale gene- 

 ralizzato (R) esteso a (b\,b^), escluso al più un insieme di valori di £ 

 di misura (lineare) nulla. 



Tale osservazione è utilissima in pratica. Poiché, una volta assicurata 

 la integrabilità (R) in modo generalizzato della funzione f in J , quando 

 la natura dell'insieme F dei punti di discontinuità della funzione e delle 

 discontinuità stesse è tale da presentare un certo carattere di uniformità, 

 si potrà ben presumere che i punti £ di (<z, , a 2 ), di eccezione per l'esistenza 

 dell'integrale generalizzato (R) della funzione /(£ , y) in (pi , b 2 ) > siano solo 

 da ricercare nelle ascisse dei punti di F che presentano qualche singolarità, 

 vuoi per la discontinuità di /', vuoi per le proprietà geometriche di F 

 (cfr. Esempio II, al n. 6). 



Supponiamo, ancora più in particolare, che l'insieme F dei punti di 

 discontinuità della funzione f(x , y) abbia i suoi punti distribuiti sopra un 

 sistema di rette x = £, costituendo i valori di £ un insieme in (a x , a 2 ) di 

 misura (lineare J) nulla, si ha il teorema: 



Corollario IL — Se l'insieme F dei punti di discontinuità in J 

 della funzione f(x , y) si proietta sull'asse delle x secondo un insieme di 

 misura lineare (J) nulla, e la funzione ammette un integrale generaliz- 

 zato (R) esteso a J, sussiste la (10). 



Ne segue: 



Corollario III — Se l'insieme F dei punti di discontinuità in J 

 della funzione f(x , y) si proietta sull'asse delle x e sull'asse delle y se- 

 condo due insiemi entrambi di misura (lineare J) nulla, e la funzione 

 ammette un integrale generalizzato (R) esteso a 4 , sussistono le egua- 

 glianze 



J^£ f(x , y) dx dy =j^dxj^f(x , y) dy — J ' dy J"'f (x , y) dx . 



Analogamente, si ha nello spazio: 



Se l'insieme F dei punti di discontinuità nel parallelepipedo 



J (x = ai , x = a 2 ; y = b\ ,y — b % ; z = Ci , z = e*) 



della funzione f(x ,y,z) si proietta sopra ciascuno dei tre assi x ,y ,z 



