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Matematica. — Risoluzione dell' equazione di Fredholm con 

 serie assolutamente sommabili del Borei. Nota di Gustavo Sannia. 

 presentata dal Sodo Enrìco d'Ovidio. 



1. Consideriamo l' equazione di Fredholm 

 ( 1 ) SP(aO = f{x) + A f K(* , y) <p(y) dy 



e la sua formula risolutiva 



(2) 9{x) = f(z) + * f b K{x,y,l)f{y)dy 



J a 



per un valore di X che non sia caratteristico per il nucleo 



K(x,y) = K^(x,y) (>). 



All'espressione generale, ma complicata, del nucleo risolvente H(#,j/,A), 

 data dal Fredholm, si preferisce nelle applicazioni il suo sviluppo in serie 

 di potenze di X 



(3) H(ar ,y , X) = K<»(* , y) + 4K<» (*, y) + A 2 K< 3) (x ,//)+■•• 

 che, sostituito in (2), dà la soluzione 9(2;) espressa dalla serie 



(4) . (f{x) = g>i(x) + X<p 2 {x) + A 2 5p 3 (a;) -| 



ove 



SP,(a?) =/'(») , <f n {x) = ì{ b ~iV n -»(x,y)f(y)dy (n-2 , 3 , ...). 



Però le forinole (3) e (4) sono applicabili solo nei punti / del piano 

 complesso che sono interni al cerchio C di centro O(A = 0) e di raggio 

 uguale al minimo fra i moduli dei valori caratteristici. 



('). Che supporremo funzione limitata e generalmente continua nel quadrato R limi- 

 tato dalle rette x = a, x = b, y = a, y = b (ossia tranne forse in punti distribuiti 

 sopra un numero finito di linee, ciascuna delle quali sia tagliata in un numero finito di 

 punti da ogni retta parallela ad un asse). Si sa che allora i nuclei iterati (x , y) , 

 K (3 >(# , y) , ... sono funzioni continue in R e che ivi è 



| K'")(x , y) \ < M"(ó — a)' 1 - 1 , se | K (x ,y)\< M. 



Supporremo inoltre che f(x) sia continua in (a , ò). 



