— 430 — 



Scopo di questa Nota è di mostrare che il loro campo di applicabilità 

 si può estendere interpretandole col metodo di sommazione esponenziale 

 del Borei. 



2. Ad ogni semiretta s uscente da si conduca la perpendicolare p 

 da quello fra i punti (valori) caratteristici giacenti su s (se ve ne sono), 

 che è più vicino ad : quei punti X che giacciono dalla parte di rispetto 

 a tutte le rette p costituiscono una regione P d'un sol pezzo, finita o non, 

 che contiene il cerchio C fin qui considerato e che può dirsi un poligono 

 (in senso lato). 



Risulta dalla costruzione stessa di P che il cerchio che ha per diametro 

 il segmento che unisce il punto ad un punto qualunque X interno a P 

 è tutto interno a P ; anzi si può descrivere un cerchio concentrico e di raggio 

 maggiore | A j — f— e (f^>0), anch'esso interno a P, la cui circonferenza in- 

 dicheremo con r. 



Teorema. — In ogni punto fissato X interno al poligono P: 



1°) la serie (3) è assolutamente ed uniformemente sommabile quando 

 (x , y) varia nel quadrato R ed ha per somma H(x ,y,X ), ossia le serie 



(5) u lrì (cc,x ì y) = ^_W rr W n+ ** i) {3e,y)¥- (r = , 1 ,2 ...') 



sono convergenti uniformemente in R per ogni fissato a ^ , gli integrali 



J- 00 

 <r a M (r, (« , x , y) da (r = 0,l , 2 , ...) 







sono convergenti assolutamente ed uniformemente in R ed il primo vale 

 B.{x ,y,h) 0); 



2°) la serie (4) è assolutamente ed uniformemente sommabile nelVin- 

 tervallo (a , b) ed ha per sommala soluzione tp{x) dell'equazione di Fredholm (1) 

 per X = X , ossia le serie 



(7) »<"(«, a) = V l n +r 9 n+r +i(x)^. (7 = 0,1,2,...) 



sono convergenti uniformemente in R per ogni fissato a >. , gli integrali 



e- a v irì (a , x) da (r=0,l , 2 , ...) 



o 



sono convergenti assolutamente ed uniformemente in R e il primo vale <p{x) , 

 soluzione di (1) per X = X . 



( l ) Osserviamo per il seguito che proprietà analoghe valgono evidentemente per la 

 serie che si deduce da (3) (con X = A ) moltiplicandone tutti i termini per K/\y), ossia 

 che questa serie è assolutamente ed uniformemente sommabile in R ed ha per somma 

 A f(y)H{% ,y 



