L'ampliamento del campo di validità delle (3) e (4), che ci assicura il 

 teorema, è spesso considerevole. Così nel caso importante che % valori carat- 

 teristici siano tutti reali (immaginari puri) ('), il nuovo campo P èia striscia 

 limitata dalle rette parallele alVasse immaginario (reale) condotte dai due punti 

 caratteristici che sono più vicini ad e da bande opposte rispetto a quell'asse. 



3. Per dimostrare il teorema osserviamo che la (3), in un punto fissato 

 (x,y) di a, è una serie di potenze di X a coefficienti numerici, il cui 

 raggio di convergenza non è nullo: quindi ( 2 ) ammette un poligono di som- 

 mabilità F(x , y) in ogni punto X Q interno al quale (mai esterno, forse del 

 contorno) è assolutamente sommabile ( 3 ) e ha per somma il valore per 

 X =.X della funzione analitica che ha per elemento la (3), ossia tì(x ,y ,X ). 

 Per costruirlo, si conduce la perpendicolare p ad ogni semiretta s uscente 

 da 0, da quello fra i punti singolari giacenti su s della funzione analitica 

 H(x,y,X) definita dalla (3) che è il più vicino ad 0: ~P(x,y) è allora 

 costituito dai punti X che giacciono dalla parte di rispetto a tutte le 

 rette p . 



Variando il punto (x , y) di R, varia anche il poligono F(x,y) inge- 

 nerale; dunque, solo per ogni punto X intemo alla regione comune a tutti i 

 poligoni P(x , y) si può asserire che la serie (3) sarà sommabile assoluta- 

 mente con somma R(x , y , X ) qualunque sia (x , y) in R. Ora questa re- 

 gione è appunto il poligono P dianzi definito: ciò risulta dalla costruzione 

 stessa dei poligoni P e F(x , y) e dal fatto (noto) che ogni valore caratte- 

 ristico di K(x , y) è punto singolare della funzione H.(.% , y , X) di X per al- 

 meno un punto (x,y) di R, e viceversa. 



Per completare la dimostrazione della prima parte del teorema, resta 

 da dimostrare che la convergenza delle (5) per ogni fissato a e degli 

 integrali (6) è uniforme in R. 



Per una (5), ciò segue subito dal fatto che i moduli dei suoi termini 

 sono ( 4 ) minori dei termini (eostanti) corrispondenti della serie convergente 



CO 11 



X r M r+1 (b — a) r e \ mb - (0a = £ X% +r M n+r+ì (b — a) n+r — . 



Passando ad un integrale (6), prendiamo a considerare la circonferenza r 

 introdotta al n. 2. Nei punti Hi r e del suo interno R(x,y,X) è fun- 

 zione olomorfa di X, qualunque sia (x , y) in R ; quindi i coefficienti del suo 

 sviluppo (3) in serie di Mac-Laurin sono esprimibili, per ogni punto fissato 



('j Come accade per es. se K(x , y) è simmetrico (gobbo-simmetrico). 

 ( 2 J E. Borei, Legons sur les séries divergentes, chap. IV". 



( 3 J Ciò vuol dire che nel punto fissato {x ,y) di R le serie (5) sono convergenti 

 assolatamente e gli integrali (6) sono convergenti assolutamente (per definizione di Borei). 

 ( 4 ) Per le forinole in fine di 



