(x , y) di R , con la forinola di Cauchy 



(9) ^^^mf^iX; 



sicché la (5) può scriversi 



Quando X varia su r (ove non si annulla), la serie di potenze di X 



00 ì n+r rt n —oc 



è convergente uniformemente; quindi, variando (x , y) in R e A su T, è pure 

 convergente uniformemente la serie 



( n ) 1. A " +r Xn+r+l — = ^E(x,y,X)e x , 



perchè si ottiene dalla precedente moltiplicandone tutti i termini per la fun- 

 zione E(x ,y,X): X r+1 che è limitata per (x , y) su R e X su r, ossia è 

 tale che esiste una costante L ^> per cui risulti 



(12) \H(x <y A):l r+Ì \<L, 



qualunque sia (x , y) in R e X su T Dunque la (11) è integrabile ter- 

 mine a termine rispetto a X lungo T, e perciò la (10) può scriversi 



Se ne deduce, per la (12), che, qualunque sia {x , y) in R, è 



|ér a w (r) («,^,y)|<^ffi J~ |<r( 1- '^) a ||<a| ; 



(') Si ricordi infatti che H(#,?/,A) è esprimibile (Fredholm) come quoziente di due 

 trascendenti intere T>(x , y , A) e D(A), sicché E(x , «/ , A) : A-+ 1 = D(# , y , A) : [D(A) A^ 1 ]. 

 La seconda, come A r -*- 1 , non si annulla su T; quindi esiste una costante Z>0 tale che 

 risulti | D(A) A*"-»- 1 1 >■ Z lungo r. Poi lo sviluppo della prima in serie di potenze di A ha 

 (come è noto) i moduli dei termini minori dei termini della serie convergente 



][_ ] M w +'(5 — a) re (/<-f-l) 2 («4-1)1 j 



indipendente da (x,y); sicché se N è un numero maggiore della somma di questa serie 

 su r, sarà a fortiori \D(x ,y, A)| <N, qualunque sia (x ,y) in R. Da tutto ciò segue 

 la (12) per L = N:Z. 



