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poi, ricordando (n. 2) che ||A |-f-« è il raggio di F e chiamando h una 

 costante positiva minore della parte reale di 1 — ~~ lungo Z\ sicché il mo- 



dulo di e v x risulti minore di e~ ah ( 1 ), si ha 



| *- ««(a , x , y) | < L| ^J" >a |^ \dX\ = L |jgr }ì 12.1 + e\ er** . 



Ora, poiché l'integrale di e~ h(/ - (e quindi del terzo membro) rispetto 

 ad a tra i limiti e -\- oo esiste e non dipende da (x , y), esisterà a for- 

 tiori l'analogo integrale del primo membro, ossia l' integrale (6) convergerà 

 assolutamente (come già sapevamo), ed uniformemente quando (x , y) varia 

 in R. Con ciò la prima parte del teorema è dimostrata. 



Ora, posto X = X nella (3), moltiplichiamone tutti i termini per 

 K fiat) • otterremo una serie di funzioni di x , y : , continue in R a partire 

 dalla seconda ( 2 ), che sarà sommabile assolutamente ed uniformemente 

 ed avrà per somma X 9 K(x , y , X ) f {y) ( 3 ); quindi ( 4 ) sarà integrabile ter- 

 mine a termine rispetto a y in (a ,b) , dando origine ad una serie di fun- 

 zioni di x che sarà sommabile assolutamente ed uoiformeniente in {a , b) , 

 ed avrà per somma l'analogo integrale di X H(x , y , X Q ) f(y) . 



E con ciò anche la seconda parte del teorema è dimostrata, perchè già 

 sappiamo (n. 1) che, così operando, si giunge alla serie (4). 



(*) h esiste. Infatti, posto A r= | A | e' 9 , A„ = | ì a | e i9 ° , si vuole che sia 



h<[\l\ eos(6 — fl )]: |A| 



lungo r. Ora |A[ — |A | cos(0 — O ) misura la distanza (sempre positiva) di A dalia per- 

 pendicolare in A alla retta che congiunge A al punto O(A = 0): quindi ha per minimo 

 valore e (quando A è quell'estremo del diametro di r che passa per A che è dalla parte 

 di A ). Poi |A| ha per massimo valore [A | -)- e (nello stesso punto); dunque basta pren- 

 dere h = e :(|A |-{-e). 



( 2 ) Cfr. (i). 



(3) Cfr. («). 



( 4 ) Per un teorema generale che ho dimostrato nella recente Nota (n. 1 6 e 7): 

 Sviluppo di una funzione analitica in serie sommabili col metodo di Borei (presentata 

 alla R. Acc. delle Scienze Fis. e Mat. di Napoli). 



Rendiconti. 1919, Voi. XXVIII 2" Sem. 



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