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Matematica. — Nuove regole per la riduzione degli inte- 

 grali multipli generalizzati di Riemann. Nota IV di Mauro Pi- 

 gione, presentata dal Socio L. Bianchi ( ] ). 



Esempio II. — - Sia E un dominio piano la cui frontiera sia costi- 

 tuita da una curva chiusa C semplice regolare di Jordan di equazioni pa- 

 rametriche $ = h(s) , y = k(s) , ove s designa l'arco di C. Le funzioni 

 h(s) , k(s) sono supposte continue con le loro derivate prime e seconde in 

 tutto il tratto (O.L), L designando la lunghezza di C. Supponiamo anche 

 che la curva C abbia l'equazione l(x ,y) = , essendo l(x,y) una funzione 

 continua, con le sue derivate parziali prime e seconde, in un rettangolo A, 

 a lati paralleli agli assi coordinati, contenente E, sempre positiva nei punti 

 interni di E. riuscendo inoltre, su C, l%-\-ll^>0. 



Sia ora g(z,y) una funzione continua in tutto E, e consideriamo la 

 funzione 



f(x , y)=g(x ,y) : [l(x , y)~]«, 



ove a è una costante minore dell'unità. Questa funzione è continua in ogni 

 dominio interno ad E. Dico che essa ammette un integrale generalizzato 

 (R) esteso ad E ( 2 ). 



Supponiamo che il verso degli archi crescenti su C sia quello positivo 

 su C. Indicando con n la normale a C, vòlta verso l' interno di E, si ha: 

 cos (x , n) == — k'(s) , cos (y , n) = h\s). La curvatura di C 



~ = \h'k" — k'h"\, 



li 



è, per ipotesi, (finita e) continua in tutto (0 , L) . Il minimo R del raggio 

 di curvatura R di C sarà perciò diverso da zero. Portiamo su n, a partire 

 da C e nel verso positivo di n , un segmento costante q <i R ; si ottiene 

 la curva C P di equazioni 



\x = h{s) — Qk'(s), 

 \ y = *W + Qh\i) , 

 che dico essere semplice, regolare e intieramente interna a E. non appena q 



(!) Pervenuta all'Accademia il 25 settembre 1919. 



( 2 j Alle stesse conclusioni si giungerebbe per la funzione 



f{x ,y) = g{% ,y)\\ogl {x , y) \ ?■ , 

 ove /S è una qualunque quantità positiva. 



