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è minore di un certo termine r assegnabile. La normale interna n in un 

 punto P di C , corrispondente al valore s dell'arco, è incontrata dalla curva C, 

 oltre che in P, in un insieme di punti diversi da P, sia p x {s) la distanza 

 del punto P da questo insieme. Al variare di s, p^s) è una funzione po- 

 sitiva di s e, con un ragionamento di noto tipo, si dimostra che essa ha 

 in (0 , L) un limite inferiore p x >0. Consideriamo ora, con P, un punto Q 

 variabile su C; l'asse del segmento PQ incontra il raggio n, determinando 

 su di esso, al variare di Q , un insieme di punti dal quale P " ha una di- 

 stanza p 2 (s) diversa da zero('); p t (s) è una funzione di s sempre positiva 

 avente in (0 , L) un limite inferiore p : ^>0. 



Sia ora r minore della minore delle tre quantità p 1 ,p 2 , R . La curva 

 Cp risulterà intieramente interna ad E, poiché risulterà semplice, 



poiché q<CPz'ì risulterà regolare, poiché ove fosse, per un valore di s, con- 

 temporaneamente, h'(s) — gk"(s) = k' (s) -f- gh" (s) = , se ne trarrebbe 

 1 — g(ti k" — k' h") = e quindi che, per quel valore di s, il segmento g 

 raggiungerebbe il raggio di curvatura di C; ciò che è assurdo, per essere 



e<Ro- 



Possiamo pertanto asserire che la curva C p è la frontiera di un do- 

 minio E ? tutto interno ad E. Per assicurare l'integrabilità (R) in modo ge- 

 neralizzato della funzione f{x,y) in E, basterà, in virtù del criterio dato 

 al n. 3, far vedere che l'integrale 



e _- i f(x , y) | dx dy = 'ff dx dy 



è limitato in ogni tratto (e , r) , ove e è un infinitesimo; o, cioè, che indi- 

 cando con E Pl p 2 il dominio compreso tra due curve C , , C 0j , gì < g 2 <C r, 

 si avrà 



(12) lim ff ^' {x ' y) ' a dxdy = 0. 



Per il calcolo dell'integrale di \f\ esteso al dominio Ep lPs , cangiamo 

 le variabili di integrazione x e y nelle variabili s e g legate alle x e y 

 dalle (11), ciò che, come facilmente si vede, è lecito. Si ha, in Eo, r , 

 Of 3} y) 



~, , = 1 — giti k" — k'h")~^>0. Se designamo con K il massimo, in 

 D{s,g) B 



E , r , di ì g{x , y) | j 1 — g(ti k" — k' h") \ , si trova 



ff | f(x , „) | «fa dy - K [ L ùfffifap , 



C) P*( s ) e limite inferiore dei raggi dei cerchi tangenti in P alla C, e giacenti 

 dalla parte di n. che hanno almeno un ulteriore punto, diverso da P, in comune con C. 

 Se pertanto fosse p t {s) = 0, ne seguirebbe che in P la curvatura di C sarebbe infinita. 



