— 495 — 



ove 



(13) l{x , y) — Ql ( (0 , s) + , s) , 



^ designando un certo valore pasitivo, dipendente da s , minore di q . 



Si ha, d'altra parte, l ? (0 ,s) = — l x (h , k) k' + <^(A , k) h'; e pertanto 

 risulterà sempre, in (0,L), / p (0,s)4=0, poiché, in caso diverso, avendosi 

 identicamente l x {h , k) h' l y (h , k) k' = Q , ne seguirebbe, contrariamente 

 ad un'ipotesi fatta, l'esistenza di un punto di C in cui l x — l y = 0. 



Sarà d'altra parte sempre / (0,s)>>0, poiché l(x,//), nulla su C, 

 è sempre positiva noli' interno di C . Diciamo m il minimo, in (0 , L) . di 

 l ? (0 , s) , sarà m^>0; diciamo 31 il massimo di j\lp?((>,s)\ in E , r . Si 

 dedurrà, dalla (13), l(x , //)> gm — £> 2 M. Prendiamo ora p, e p 2 entrambi 

 minori di m:(2M); si avrà, in tutto E ?t p. 2 , 



l{% > il) > — (>M) > q m/2 . 



Ne segue, per gli indicati valori di o, e g t , 



re 1/(^,^1^% r pa j, «<i, 



ed il secondo membro di questa diseguaglianza è un infinitesimo con p! 

 e q 2 . È con ciò dimostrata la (12) e quindi l'integrabilità (R) in modo 

 generalizzato della funzione f(x,y) nel dominio E. 



Diciamo «i e « 2 il minimo ed il massimo della x su C . Supponiamo 

 ora, in particolare, cbe, se si esclude un insieme X di valori di % in (ai, a») 

 di misura (lineare) nulla, la sezione del dominio E, con ogni retta # = f , 

 sia un insieme misurabile (J). Si può asserire allora (cfr. l'osserva- 

 zione al Corollario 1 del n. 5) chela funzione f(£,y) ammette sempre un 

 integrale generalizzato (R) esteso a A(f), escluso al più un insieme di 

 valori di £ in (a x , a 3 ) di misura (lineare) nulla. 



Per ricercare i punti in (a, , a 2 ) di eccezione per l'integrabilità (R) in 

 modo generalizzato di f {£,?/) in A(f), supponiamo, ancor più in particolare, 

 che ogni retta x = ì , per £ interno ad (a x , a z ) , seghi la curva C in due 

 soli punti ?/,(£) , ?/ 2 (f) , */,(£) < 3/ 2 (£), le funzioni y^) e ?/ 8 (i:) essendo con- 

 tinue in (a, , a t ) (*). Supponiamo anche che esista su C soltanto un numero 

 finito di punti nei quali la tangente a C è verticale ('). Si potrà allora di- 

 videre l'intervallo (a, , a 2 ) in un numero finito di tratti (a; , , nei punti 

 interni di ciascuno dei quali è sempre l y [x , ?/i(£c)] > , l y \x , f/»(a:)] > 0. 



Dico che in ogni tratto («,- , /?'j) , interno ad («* , /?,) , l' integrale ge- 

 neralizzato di Riemann 



C y*i x ) 

 = , , A* » : ? /) ^ 



(') Le conclusioni a cui giungeremo sussistono per ipotesi molto più larghe. 



