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ha un valore determinato e finito, ed esso è una funzione di x continua 

 in («Wi)- 



Designino r](x), indifferentemente, una delle due funzioni jj\(x) o y 3 (x), 

 m (m > 0) il minimo in (a'ij/3\) di | l y (x , r)(x) ) | , M il massimo in E di 

 \\l w (x<y)\. Si ha 



J{x ,y) = [y — r)(x)~\ l,[x . + ì ù — lyy\® , vWl . 



ore ^(x) è un valore intermedio fra y e Ne segue che, per 



|y — '/ 1 <C ^ ^ risulta /(# , y) > — -| y — 17 1. Pertanto, se y' e y" sono 



due qualisivogliano valori, entrambi contenuti o nel tratto yy x , y\ -f- 

 o nel tratto ^ 2 — 9^1' ^ 2 )' S ^ 



Cy". , 2«H p/" ri// 



• 2/ »" Jy \y — v\ 



ove H è il massimo di \g : < in E. Ciò intanto prova che f(x ì y) 1 per ogni 

 valore di x in («',■ , ammette un integrale generalizzato (R) esteso al 

 tratto [t/i(«r) , y 2 {x)~] . Per dimostrare ora che questo integrale (p(x) è una 

 funzione continua di x in (a'i , @'ì), osserviamo che, se a designa una fissata 

 quantità positiva per cui sia 



2 a H a 1 -* j_ 

 ~m? 1 — a > 2 ' 



s essendo un numero positivo arbitrariamente assegnato, risulterà, per ogni 



valore di x in 



<«;,#), 









C Vi -* a 





ry* 



(14) 



f{x , y) dy 



<* , 



f(x , y) dy 





Jyi 





Jy t — <s 



Esiste un numero positivo d tale che, per \J%\<^d, si ha 



("* -+- -Le) — a r* yt{oe) — <f 



f{x -f Jx , y) dy — f(x , y) dy ■ 



per tali valori di Jx si otterrà, in virtù delle (14), 

 | g>(x -j- Jx) — y> (x) |< 5<? , 



e ciò prova la continuità di g>{x) in (a- , L'insieme dei punti singolari 

 per l'integrabilità (R) rfeZ/a funzione <p{x) in (a , b) è dunque contenuto 

 in quello dei punti, in numero finito, a, b, ai, fa. Ne segue, in forza del 



Rendiconti. 1919, Voi. XXVIII, 2» Sem. 64 



