3. — Forma isometrica del da*. 

 Ulteriore trasformazione delle equazioni gravitazionali. 



Per l'armonieità di r rispetto al da* ( A 2 r = 0), esiste la funzione 

 associata 2 (determinata a meno di una inessenziale costante additiva), ar- 

 monica anch'essa, indipendente da r (') e dotata delle stesse dimensioni, 

 quindi omogenea ad una lunghezza. 



Il da*, espresso per r e g, assume notoriamente la forma isometrica 



(17) da* = e* x (dr* + ds*) , 



dove X è una funzione, a priori incognita, di r e di z , legata alla cu iva- 

 tura gaussiana K dalla relazione 



(18) K — + 



Più comprensivamente, seguitando per un momento ancora a lasciar 

 generiche le variabili indipendenti, potremo ritenere la (17) sotto la forma 



(17') da* = e* x da* 



con da elemento lineare euclideo. 



Prima di procedere all'integrazione del sistema (13), (14), (15), si 

 rende opportuna un'ultima trasformazione, che riporti, in tutte le formule, 

 derivate covarianti e parametri al da* euclideo. 



Detti alt i coefficienti di questo dal, si ha dalla (17') e* x a%\ 



inoltre (invocando qui ancora le formule (5) della Nota III): 



(19) 



rjk _ 

 r 





*t-y* + ;V (r,*) a\ h , 





Vik = 



VÌk — Vi' 



U — **Ai + V°(v , l) a° ik 



(», A=l ,2); 



V = 



g-2X 



, A = e~ iX a" , A 2 = e- 





dove sono contrassegnati con gli elementi che si riferiscono al dal . 



(') Questa affermazione cadrebbe in difetto soltanto se r fosse costante. Ma si può 

 a priori escludere tale eventualità, badando alle equazioni (15). Infatti, per r costante, 

 queste implicherebbero proporzionalità fra i coefficienti del da 2 e i prodotti fifk\, 

 • quindi l'annullamento del discriminante, il che è da escludere, trattandosi di forma 

 definita positiva. 



