Coti ciò, le (13), (14), (15), avendo anche cura di sostituire a K la 

 sua espressione (18), — A 2 X = — e~ ìX , assumono l'aspetto 



(13') A?v + ^V(r ,r) =-Ò , 



(U') AU = — A°v, 



(15') "f - ± X k - 'j X t + 2 - a& } A a r - ; V°(r , A) J = 



(i , k — 1,2). 



4. — Particolarizzazione delle VARIABILI indipendenti. 

 Integrazione e forme canoniche. 



Finora ci siamo occupati di cambiare la forma fondamentale, in modo 

 che questa è divenuta il dal euclideo. Ma non abbiamo peranco introdotta 

 alcuna specificazione delle variabili indipendenti x x , x t , sicché le formule 

 precedenti valgono in coordinate qualunque. 



Per agevolare l' integrazione, giova però riferirsi a coordinate cartesiane 

 (rispetto al nostro dal = dr 2 -f- ds 2 ), assumendo x x = r , x 2 = s. Con tali 

 variabili indipendenti, a1 k = s iH ; le derivate covarianti coincidono con le 

 derivate ordinarie, l' indice 1 significando derivazione parziale rapporto ad r 

 e l' indice 2 derivazione parziale rapporto a s ; r x = \ , r% = , r\ k = 

 (i , k = 1 , 2J; ecc. 



La (13') assume così la forma esplicita: 



(20) Vv -4- 1> * V -U - — — 1 ^ Ir —\ 4- Vv — 



in cui si ravvisa la nota equazione che definisce i potenziali simmetrici 

 dello spazio ordinario in coordinate cilindriche. 



Dunque, in primo luogo, l'incognita v(r , s) è un potenziale simmetrico. 

 Soddisfatta che sia questa condizione, le (15') risultano, come tosto verifi- 

 cheremo, compatibili e atte a individuare l mediante una quadratura. 



Per riconoscerlo, facciamo successivamente coincidere, nelle (15'), la 

 coppia (i , k\ con (1,1), (2,2) e (1 , 2). 



Le prime due equazioni riescono coincidenti, sicché si ricava 



(21) X x = r {v\ — v\) , X f = 2rv v v tì 

 le quali si compendiano in 



(21') dX==r(vì — rl)dr + 2rv 1 v t dz. 



In virtù della (20), il secondo membro risulta, come si constata imniedia- 

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