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tamente, un differenziale esatto, sicché le (21) sono compatibili, e la deter- 

 minazione di X richiede unicamente una quadratura. 



Quanto alla (14') (che si presenta a primo aspetto come una ulteriore 

 condizione imposta alla X), essa rimane identicamente soddisfatta, purché 

 vi si introducano per A, , X t le espressioni (21) e, ancora una ^volta, si tenga 

 conto della (20). 



Riassumendo, da (2), (3) e (17) si ha l'espressione canonica dell'ele- 

 mento lineare di spazio sotto la forma 



(22) di 2 = e-» j e^(dr* + dz 2 ) + r 2 dx\ j , 



dove v(r , z) è un potenziale simmetrico, cioè una qualunque soluzione della 

 equazione (20), e X rimane individuata, una volta assegnato v , a meno 

 di una costante additiva inessenziale (in quanto si possono far coincidere, 

 con semplice alterazione dell' unità di lunghezza, ossia moltiplicazione di r 

 e z per una medesima costante, due di 2 , i quali differiscono soltanto per 

 la determinazione di X). Si ha poi dalla (1) V = V e v , e quindi il poten- 

 ziale statico 



2 V _ 2 V °' • 



Dacché V è una semplice costante di omogeneità, rimane provato che ad 



ogni ordinario potenziale simmetrico v corrisponde univocameate un ds* 

 einsteiniano del tipo binario di Weyl. 



5. — Osservazione critica. 



Il sig. Weyl, dopo aver impostata la questione con molta eleganza, 

 ne deduce le equazioni differenziali caratteristiche da un principio variazio- 

 nale, perfettamente corretto, ma solo parzialmente applicato. Ed ecco come. 



La variazione di un certo integrale 



J^jlp dx x dx 2 



deve essere zero per incrementi arbitrari dei coefficienti g ih del ds 2 einsteiniano, 

 vincolati soltanto ad annullarsi al contorno del campo di integrazione. 



Quando pur si sappia — ed è il caso di Weyl — che il ds 2 , a par- 

 tire dal quale la variazione si deve annullare, può essere assunto sotto forma 

 ortogonale (anzi parzialmente isometrica) 



fdt 2 — j h(dx\ -f- dal) + ldx\\ , 



non basta limitarsi a variazioni che conservano quella forma, ma è d'uopo 

 lasciare a priori arbitrarie tutte le àgé:. Altrimenti si ottengono condi- 



