n essendo im vettore costante normale ad v , la (10) si riduce alla 



(11) (g = (g — — I ì (eos r n — cos rn ) n — (r -f- v ) (rt X a) + 



3. Valutazione di integrali. — La forinola (11) può adoperarsi allo 

 stesso modo dell'analoga corrispondente al caso in cui A è al finito, a giu- 

 stificare le leggi dell'ottica geometrica e a spiegare fenomeni di diffrazione. 

 Per raggiungere questi scopi, bisogna risolvere una quistione fondamentale: 

 quella di calcolare o, almeno, di valutare l'ordine di grandezza dell' inte- 

 grale che compare al secondo membro della (11) stessa. La quistione è stata 

 trattata in modo completo da Kirchhoff, nel caso in cui A 9 è al finito, ap- 

 plicando, al suo scopo, il metodo col quale Dirichlet ha studiato il problema 

 della convergenza delle serie di Fourier e che contiene la sostanza del pro- 

 cedimento per zone di Fresnel. Conviene, e, nel nostro caso, è indispensa- 

 bile, presentare le considerazioni di Kirchhoff in maniera più generale, sup- 



ponendo che il fattore di — , nell'argomento del sen, sotto l'integrale a 



secondo membro della (11), sia una funzione u di £ , r; , £ perfettamente arbi- 

 traria, ma con derivate finite. Si noti, per ciò, che l'equazione w(£ ,'r] , £) = cost. 

 rappresenta una serie di superfìcie che, nel nostro caso speciale, sono para- 

 boloidi di rotazione confocali. Si noti, pure, che si può far variare comunque <r, 

 purché, nel caso che tf abbia un contorno, questo contorno resti fisso ed il 

 centro luminoso col punto d'osservazione restino sempre dalla stessa banda 

 o da bande opposte di o* senza mutare il valore dell' integrale esteso a <s ; 

 per cui possiamo sempre supporre che a non abbia nessuna parte in comune 

 con una superficie u = cost. e che non sia tangente ad una tale superfìcie 

 in un punto interno ad essa o del suo contorno. 



Per calcolare il nostro integrale si può. se occorre, spezzarlo in parti 

 in modo che ogni sua parte sia estesa ad una parte di a tale che, per essa, 

 una delle coordinate, per es. £, si possa considerare come funzione univoca 

 delle altre due £ e rj. Si può, quindi, introdurre su or un sistema di linee 

 coordinate u e v di cui il primo sistema sia formato dalle linee d' inter- 

 sezione di e con le superfìcie u = cost e servirsi di a e y, come variabili 

 d' integrazione, per calcolare il nostro integrale, o ciascuna delle sue parti. 

 Affinchè ciò sia possibile bisogna poter determinare una funzione v(£ , rj) 

 tale che il determinante 



-f- rt (v X a) sen 2tt 



"q£ + P* r l + /oC + r 

 X 



+')*■ 



d{u , v) 



sia diverso da zero, almeno, sulla parte di a a cui è esteso l' integrale, e 



