Se il primo fattore del secondo membro è nullo qualunque sia f (cioè 

 per ogni congruenza), allora le a sarebbero proporzionali alle y, le a alle e, 

 la (p alla x; e per le relazioni (18) di coniugio sarebbe x = 0; e quindi 

 il complesso sarebbe lineare. Se invece fosse nullo il secondo fattore, da (23) 



seguirebbe che le 



(coi ~ì> storti) sarebbero proporzionali alle 



~òUi ì)Uj 



e, come sopra, si troverebbe ancora che il complesso è lineare. 



Le formolo qui svolte possouo essere utili allo studio delle congruenze 

 contenute in un dato complesso. 



6. Congruenze. Abbiamo due complessi £ , £' definiti da (12): 



(12) 6is £ = ~D?x -f- as:SX D z x (ove si ponga du s — R s ) (e analoghe in rj, ecc.) 

 I (12) (er £' = -\- xSX D 2 # (ove si ponga du s = R^) . 



Se le x,y,... non fossero normali, si noterebbe che le £,'£' restano 

 moltiplicate per q, quando le x,y,... si moltiplicano per un fattore q. 



L'espressione 



(25) 



W — ^ 2 (x , X\ , a*2 » %w i i %ìz) (*) 



é ^er /w^e e sole le congruenze W , non muta cambiando le varia- 



bili coordinate u r (è intrinseca) e resta moltiplicata per — se moltipli- 

 chiamo le x , y , ... per q , e quindi g> per o 2 , ^/ per q 4 . Escluse le con- 

 gruenze W (da riguardarsi come anormali), i calcoli si presentano nel modo 

 più semplice, se noi scegliamo q in guisa che W sia l'unità. Avremo così 

 completamente determinate sia le coordinate normali di una retta della 

 congruenza, sia la forma g> , che, assunta come elemento lineare, definisce 

 una metrica completamente individuata dalla congruenza, e che si con- 

 serva per tras formazioni proiettive. Evidentemente il determinante 



1 J*W 



— {x , Xl , Xt% X ì ^ì.) = y=r 









 

 



An 



2 



R? 



r; z 





 

 



Ai, 



2Rx Rj 

 2R{ R 2 





 

 



A?t 



2 



Ri 



=4= w(r, r; 



R 2 R[) (A„ R 2 R, — Ai t [Ri Ri + R 2 Ri] + A 22 R, R 2 ) = W 



(') Chiamo W questa espressione appunto perchè essa è nulla per le congruenze W 

 (congruenze di rette, le cui coordinate soddisfano a una stessa equazione lineare omo- 

 genea del 2° ordine). 



