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complessi Di questo fatto ci potremmo servire per scrivere le 



equazioni differenziali delle assintotiche alle falde focali (più complicato, 

 ma non difficile, è il problema di scrivere tutte le altre forme relative alle 

 falde focali). 



Oltre a W noi abbiamo trovato in 2£* , 2g'* , 2£g' (legati dalla 26 6i ,) 

 altri invarianti di una congruenza. Per trovare il sistema completo di tali 

 invarianti, e le loro mutue relazioni, dobbiamo però ora seguire una via 

 più analitica, 



Potremmo cercare delle forinole x rs — a rs X = b rs £ -j- c r » -f~ ffr» % » 

 come per il caso dei complessi, e cercar poi di dedurne le derivate delle 

 X , £ , £\ Per questa via troveremmo, oltre alla y>, le forme 2 b rs du r du t , 

 2 c rs du r du s , 2 g rs du r du s per definire una congruenza. Noi preferiamo se- 

 guire altra via, e otterremo, oltre alle <p, una sola forma (P di quarto 

 grado. E, volendo, non sarebbe difficile sostituire a <I> delle forme di secondo 

 grado. Infatti ogni forma di quarto grado, col procedimento già da me stu- 

 diato altrove di divisione covariante, si può scrivere in uno e in un solo 

 modo nella forma (D = \<p % -\-\p<p-\-%x- ove xp , % , % sono forme di se- 

 condo grado coniugate alla <p, e le sono coniugate tra loro. (Se p. es. 

 (p = 2a i % dui du 2 , cioè se le u x , u 2 sono le sviluppabili della congruenza, 

 la xfj sarebbe del tipo b n du\ -f- b 2t dui e l e X > X del tipo c u dui — c 2i du\). 

 Cosicché, invece di dare la Q , si potrebbero dare l' invariante I , e le due 

 forme ip,%. (L'invariante I resta determinato dalla W 2 = 1 , quando sieno 

 date le forme y , ip , %). 



7. La forma <t> di quarto grado. Ricordando la (8) porremo: 



(29) <J> = 2k rm du r du p du s du q = S dx D 3 x = — S(D 2 ^) 2 . 

 Per le regole di derivazione coi differenziali controvarianti è 



(30) Sdxd 3 x = 2a rs du r <5 3 u s + <l> ; S(d 2 x) 2 = 2 a rs à 2 u r à 2 u s — O . 



La somma delle (30) dà \ d 2 <p = 2a rs du r ó 3 u s -f- 2a rs ó*u r à 2 u t , che è 

 un'identità già da me trovata al loc. cit. Ognuna delle (30) dà una nuova 

 definizione di <P. Tutte queste definizioni dimostrano che <2> è, come g>, una 

 forma intrinseca; cosicché essa è completamente determinatasele x,y... 

 sono coordinate normali; se le coordinate non fossero normali, allora, mol- 

 tiplicando x,y,... per q essa si muterebbe in 



« = 9* <P + <P* JiQ + 2<P(Q Dì g — 2dq*) . 



Indicati con (rs , hk) i simboli di Riemann a quattro indici per <p , 

 una nota formola del Ricci di calcolo assoluto dà l' identità 



(31) x rtt — x rts = — y_ (st , rp) Apq x q . 



