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Siccome W =j= per una congruenza non W, le OC >, OCg •) OCf$ 6CC. formano 

 sei sistemi linearmente indipendenti. Noi potremo scrivere sei quantità qual- 

 siasi, p. es. le x rst , Uni i ecc. come combinazioni lineari di tali sistemi. E 

 noi scriveremo 



(38) X rs t ^= b rs i X -j- ^ hfgtj A^j X{ -{- ^ ^rsipg A^j hqjXtf 



(e analoghe in ?/ , ...) . 



Moltiplicando (38) per sc p e sommando con le analoghe si trova h rstp = 

 = Sx p Xrsi • Perciò le h , che figurano in (38), coincidono con le h , da noi 

 già definite precedentemente, e calcolate con le (34). Si noti che da (38) 

 segue essere le b rtt simmetriche nei tre indici, le l rstpq simmetriche sia 

 nelle r , s , i , che nelle p , q . 



Moltiplicando (38) per — x e sommando con le analoghe, si trova: 



(39) = lrstpq Apg . 



Moltiplicando (38) per — e sommando con le analoghe, si trova: 



(39) j,t' s SXpq X rs t = b rs t CLpq — (- ^ Irslna Att{ A<j/ /iijpg • 



I primi membri delle (39) 6js sono completamente determinati dalle 

 (p,<P. Infatti derivando -Jcovariantemente le (33) si deducono tutte le 



Sx rs Xpqt -J- SXpq Xrst 



; e [poiché per (31) Sx pq x rst è simmetrico sia negli 

 indici p , q , che negli indici ir , 8 , , anche le Sw pq x rsl sono tutte date in 

 funzione delle derivate covarianti delle h, e perciò, per (34), sono note, 

 quando sono date le y> , tf> . Date le <jp , <Z> , le (39) e (39) 6ls costituiscono 

 un sistema di 4 equazioni lineari nelle quattro incognite b rst ,J rs tn , 4-sm'j 

 /, sr 5 2 , in cui il determinante dei coefficienti delle incognite è per (35) &I > 

 uguale a W 2 = 1 . Le b , l si determinano anch'esse nel modo più semplice 

 quando sono date le forme g> , <2> . Date queste forme, è noto il sistema (38) 

 di equazioni, che permette di risalire alla congruenza. Le condizioni di 

 integrabilità di tali equazioni sono nel nostro caso l'analogo delle equa- 

 zioni di Gauss-Codazzi. 



Osservazione. — Le precedenti ricerche si applicano alle congruenze 

 W in quelle loro parti, che non presuppongono W={=0. Siano costruite per 

 una tale congruenza le forme g> , <I> , che non potremo normare coi metodi 

 precedenti. Se 



(40) Axu + 2Bx, 2 -f- Gx tì + a %\ + P&i + f x — 



(e analoghe in y , ...) 



è l'equazione (scritta con derivate covarianti) cui soddisfano le coordinate 



