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Matematica. — Geometria assoluta degli spazi curvi. Nota I 

 di Tommaso Boggio, presentata dal Corrisp. R. Marcolongo. 



Facciamo le convenzioni seguenti: E n ,E^ sono due spasi euclidei ad 

 n e N dimensioni (3 <L n < N) ; C n è uno spazio non euclideo ad n di- 

 mensioni, immerso in ; Q è il punto generico di C n (appartenente pure 

 ad E*, ma non viceversa); P è il punto generico di E n . 



Considerando i vettori infinitesimi dQ e l'operazione vettoriale -f- in Eh, 

 diremo che dQ è uno spostamento infinitesimo (un differenziale arbitrario) 

 di Q in C„, quando il punto Q-\-dQ appartiene, oltre che ad i? N , anche 

 a C n - Essendo stabilita ima corrispondenza biunivoca tra i punti di C n e 

 quelli di E n , e al punto Q, — Q-\-dQ di C„ corrispondendo il punto Pi 

 di En, diremo che dP è, in E n , lo spostamento corrispondente a dQ, 

 quando dP=P l — P; e al dP in E n faremo corrispondere il dQ in G n 

 tale che Q-\-dQ è il corrispondente di P-\-dP. 



1. Traduceudo in forma assoluta il concetto analitico ordinario di spazio 

 curvo, diremo che C n è uno spazio curvo ad n dimensioni (n 3) quando: 



A) Esiste almeno una corrispondenza biunivoca tra i punti P di 

 E n e i punti Q di C„ , tale che lo spostamento (arbitrario) dP in E n 

 abbia per corrispondente un dQ in C n , e tale inoltre che i varii diffe- 

 renziali d , ó ... di P siano tutti commutabili (in particolare dSP = àdP). 



B) Se dQ è uno spostamento in C n , l'elemento d$, distanza di Q 

 da Q-\-dQ in C n , è pure la distanza dei medesimi punti in E N , cioè 

 ds ì = dQ X dQ = dQ 2 , l'operazione X eseguendosi in E n ('). 



Sia C n uno spazio curvo, nel senso ora stabilito, individuato da una 

 corrispondenza biunivoca [condizione A)], non importa quale, tra C n ed E n . 



Essendo dP spostamento generico di P in E n e dQ lo spostamento del 

 corrispondente Q in C n , poniamo : 



(1) = jp , e in conseguenza /T 1 — — , 



essendo così /? un'omografia propria tra i vettori infinitesimi di E n e quelli, 

 pure infinitesimi, di C n , e quindi omografia tra i vettori infinitesimi 

 di C n e quelli infinitesimi di E„. 



( x ) Ciò si fa sempre per l'elemento ds di una linea o superficie ordinaria immersa 

 in uno spazio a tre dimensioni. 



Circa la teoria dei vettori ed omografie negli iperspazi, vedasi la recentissima Nota: 

 Pensa, Geometria assoluta dei vettori ed omografie in un S n euclideo (Eendiconti del 

 E. Istituto Lombardo ; in corso di stampa). 



