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 Osservando che dalla (1) segue: 



dQXdQ = pdP X pdP = dP X Kj3 . pdP, 



e ponendo : 



(2) a = K/? . p , (a è dilatazione, perchè K« = a) , 

 per l'elemento ds di distanza si ha, da B): 



(3) ds* — dQ*==dPXadP, 



e quindi il quadrato dell'elemento ds in C„ si può calcolare in E n mediante 

 il prodotto interno di dP per adP. 



Così, e ciò è assai importante, la metrica nello spazio curvo C n si 

 ottiene mediante la metrica dello spazio euclideo E n . in base alla dilata- 

 zione a, che è data dalla corrispondenza biunivoca tra E n e C n che in- 

 dividua [condizione A)] lo spazio curvo C n ( 1 ). Stabilita una corrispon- 

 denza biunivoca tra E n e C n è determinata p, e quindi è determinata a e anche 

 la metrica, di C n che, in un certo senso, per la (3), è rappresentata dalla 

 omografia a . 



2. Sia stabilita una corrispondenza biunivoca tra i P di E n ei Q ài G n 

 e valgano le formule precedenti. Se, corrispondentemente allo spostamento, 

 arbitrario, dP in E n . si calcola l'incremento dp , si presenta spontanea una 

 omografia che definiremo, per un vettore generico u di E n , e per un'omo- 

 grafia qualunque X , funzione di P, ponendo: 



(4) <P P (A ,u) = ! tr~* | u + S P (X , u) - K S P (X , u) j , 



ove Sèi' importante operatore binario per le omografie, dovuto al compianto 

 M. Pieri ( 2 ). Ciò posto si ha: 



(5) dp == P • <Z>p(« , d P) , od anche ^ u = P . <D P (a , u)'. 



Infatti, differenziando la (2) si ha intanto 

 (a) Kp . dp 4- K (K/S . (//?) = da ; 



poi, dalle formule [14], [12] del Pieri si trae (scrivendo per brevità S in- 

 vece di S P ), badando alla (1): 



dp = S(p,dP) , Kp.dp = Kp.S(p,dP) = S(Kp.p,dP) — S{Kp,pdP), 



(') Introdotte le coordinate in E v , E n , C n , il che noi non abbiamo bisogno di fare, 

 il dP X <*dP non è altro che la ordinaria forma quadratica differenziale f. 



( 2 ) Burali-Forti et Marcolongo, Transfer mations linéaires, n. 48 (Mattei et C. ia , 

 Pavie, a. 1912). 



