quindi per la (2): • 



(*) Kfr.dp ==-S(« , dP).— S{K£ , fdP)\ 



si può dimostrare facilmente che l'ultimo termine è una dilatazione ; perciò 

 operando con K sulla (b) si ha : 



(c) K(K/rf.rf/?) = KS(«, dP) —8(K0, 0dP). 



Se ora alla (a) si aggiunge la differenza fra la (b) e la (c), e si tien 

 conto della posizione (4), si ha senz'altro: 



operando sui due membri con K/S -1 e osservando che dalla (2) segue 

 /S = K/9- 1 .a , risulta la (5). 



3. Applichiamo subito la (5) alla ricerca delle linee geodetiche di C n , 

 la cui equazione differenziale è, in E n ; 



(6) P'' -f- <P P (a , P') P' = (P' = dP/ds) . 



Come d'uso, diremo che una linea da i a fi (punti rissi di G n ) è geo- 

 detica, sia in Cn, che in una varietà V m (m < n) immersa in C„, quando 



(a) ó ( mod dQ = . 



Ora si ha facilmente: J(mod dQ) = (dóQ/moi dQ) X dQ, e se prendiamo 

 come variabile indipendente l'arco s della linea, nel qual caso mod(dQ/ds)==l, 

 la (a) diviene: 



{b) j-dóQ X Q[= (Q' = dQ/ds). 



Integrando per parti, la (è) risulta soddisfatta solo quando f<fQXQ"ds — 

 per óQ arbitrario in C n , cioè solo quando 



{e) óQXQ" = 0, 



la quale esprime anche che: la linea da A a B è geodetica della varietà 

 V m immersa iti C n quando la normale -principale in Q {la cui direzione è 

 data da Q") è normale a tutte le direzioni óQ della V m uscenti da Q ( 1 ). 



L'equazione differenziale delle geodetiche è dunque la (<?). Ora dalla (1) 

 segue: Q' = pP', onde Q" = §P" -f /?' P' , ossia, per la (5) : 



q" = p\ p" p')p'\, 



quindi la (c) diventa: 



§éPX 0\P"-\-<I>i{a,P') P'} = 0, onde ÓP X « } P" + 4> P (a , P') P' } = ; 



f 1 ) Questa proprietà può essere assunta per definizione, perchè le (a) , (e) sono equi- 

 valenti. 



