— 61 — 



ma óP è arbitrano in E n , ed oc è invertibile, quindi ne risulta la (6). 



4. Esaminiamo alcune proprietà fondamentali dei simboli finora intro- 

 dotti. 



Operando con à sulla dQ = pdP si ba, per la (5): 

 (a) ód,Q = óp.dP-\- p.ódP = p jO> P (« , d P) dP + ódP \ , 



e quindi risulta la formula: 



(7) ódP-\-<I> P (a ,ÒP) dP = p- l (ddQ) , 



il cui 1° membro non può essere identicamente nullo. per d,ó arbitrari. 



L'omografia <P definita dalla (4) gode della proprietà notevolissima, 

 espressa dalla formula: 



(8) <X> P (a . u) v = <X>p(a , v) u , (u , v vettori arbitrari). 



Infatti, applicando la formula [2] del Pieri, e la proprietà, assai facile da 

 dimostrare, espressa da KS(Dy , u) v = KS(D/ , v) il , ove y è omografia 

 qualunque, risulta dalla (4): 



2aO(a , U) V = S(a , v) Il + S(a , II) V — K$(a , u) V = 



= S(a , II) V -f S(a , V) Il — KS(a , V) U , 



e quindi, per la stessa (4), ne segue la (8). 



Se ora nella (7) scambiamo d e S, teniamo conto della (8), e della 

 dóP = ódP [condizione A)], si ricava subito: 



(9) dóQ = ódQ, 



cioè d e ó sono commutabili anche nel campo in cui varia Q (non lo sa- 

 rebbero però i simboli d' , d , ó di tre spostamenti di Q). 



5. Una nuova omografia, dipendente da due vettori u , v e che defini- 

 remo ponendo 



(10) 0(«, u ,v) = — i^-i-v ^— u + 



+ <P(a , V) 0(a , u) — <P (a , u) <*>(« , V) , 



(ove, per brevità, abbiamo omesso l'indice P a e a <J>), si presenta spon- 

 tanea nel calcolo di 3dp — ddp. Infatti, calcolando ddp dalla (5), e sosti- 

 tuendo a óp il valore dato dalla (5) stessa, si ha: 



ódp = p<P(a , ÒP) 4>(cc , dP) + p . ÓO(a , dP) ; 



■ 



scambiando d con d, sottraendo e tenendo conto della (10) si ottiene: 



(11) ódp — ddp = p.&(cc,dP,óP). 



Potendo considerarsi dP come un vettore costante, si ha, tenendo conto 

 delle (Ì),(9): 



{ddp — ddp) dP= àd(pdP) — dó(pdP) = óddQ — dàdQ = dd 2 Q — d*SQ, 



