e quindi, per la (11) : 



(12) ód 2 Q — d*óQ = p.0(a,dP,ÓP)dP. 



6. Applichiamo ora l'omografia & al calcolo della curvatura di Riemann 

 nel punto Q , e secondo una data giacitura. 



Sia 2 una superficie di C„, passante per Q, e siano dQ,SQ due spo- 

 stamenti ortogonali, tangenti a 2 in Q; allora per la curvatura di di Gauss 

 di 2 in Q h noto che ( l ) 



(13) m 2 3( = mài — ) — md ( 1 , (w = mod rfQ. mod <?Q) . 



Eseguendo le differenziazioni si ottiene : 



(14) m t 3i = ÓQ X ód 2 Q — SQ X d 2 óQ-\- 



+ [^Q X eFQ — {dóQf] — \óm.óQXd 2 Q — dm.dQXddQ\/m. 



Supponiamo ehe la 2 siafla superficie formata dalle geodetiche di C n 

 uscenti da Q e tangenti ai vettori xdQ -f- yò Q (x ,y numeri reali arbitrari); 

 diciamo poi N il "vettore unitario normale a 2 in Q, ed s , s, (con s x 

 funzione arbitraria di s) gli archi delle geodetiche tangenti, in Q, a dQ e 

 óQ. Trattandosi di 'geodetiche, le loro normali principali in Q hanno la di- 

 rezione del vettore N, e, facendo uso delle solite notazioni, si ha: 



dQ_ d 2 Q 1 

 ds ~ 1 ' ds 2 ~ q ** 



dQ =i d 2 Q_l 

 dSi 1 ' ds\ Qi 



di qui risulta che l'ultimo termine della (14) si annulla e che, per la (9), 

 il 2° termine vale [l/(^i) — '1 ds\ = 0. 



Quindi, per la superficie geodetica 2 considerata, la (14) porge: 



m 2 3i = SQ X\{Ód 2 Q — d 2 ÓQ) , 

 e poiché si può scrivere m 2 = dQ 2 . óQ 2 — {dQX SQ) % , si ha pure 



(15) 3i = ÓQ X (ód 2 Q — d 2 dQ)HdQ 2 .ÓQ 2 — {dQX SQf] . 



Poiché dQ = fidP, ed> = K/?.£, applicando la (12) si può dare 

 alla (15) la forma, equivalente a quella di Riemann: 



(16) 3i = 6PX cc@{a , dP, SP) dPj\ dP X adP. SP X ad P — (dP X aSPf \ 



La (15) vale anche quando agli spostamenti ortogonali dQ,SQ si so- 

 stituiscano spostamenti qualunque, esprimibili linearmente mediante i dQ 

 e SQ ortogonali ora considerati. 



Burali-Forti, Fondamenti per la Geometria differenziale su di una superficie ecc., 

 n. 42 (Rendic. del Circolo Matematico di Palermo, tomo XXXIII, 1° sem., 1912). 



d tdQ\ 

 ds \dsxj 



dt, _ J_ 



d$! 



ds e, 



ds 



d tdQ\ 

 ds,. \ ds / 



dt _ 1 



ds 



dSi Q 



dSì 



