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Matematica. — Classe derivata di una funzione. — Nota 

 di 0. Bura. li-Forti, presentata dal Corrisp. U. Marcolongo. 



Siano: u una elasse di numeri reali relativi contenente più di ira ele- 

 mento; f il simbolo di una funzione numerica, monodroma, definita nei 

 campo u e che applicata ad un qualsiasi elemento di u produce un numero 

 reale relativo; x un elemento di u appartenente pure alla classe derivata, 

 Vu, di u ( 1 ). 



Se per y elemento generico della classe formata dagli u diversi da x, 

 cioè della classe u-ix, poniamo 



[i] 9y'=(fy-}fx)/(i/-M, 



(*) Per comodo del lettore, e per non lasciare dubbi sulla natura dell'ente nuovo 

 che intendo definire, riporto le definizioni di alcuni enti^fondamentali già noti, valendomi 

 delle notazioni logico-ideografiche del Formulario di G. Peano, con le leggiere modifi- 

 cazioni che ho introdotto nella 2 a ediz. del mio Manuale Hoepli, Logica Matematica, in 

 corso di stampa e di prossima pubblicazione. 



Unendo, somma logica, alla classe q dei numeri reali relativi gli elem enti! -\- oo,, 

 — oo si ottiene la classe 



(0) q* == q y t(+ oo) u t(— oo). 



Di una classe a, non vuota, di q se ne deve 1 considerare il limite superiore, l'a; 

 ^il limite inferiore, La; la classe limite generale, A-u; la classe derivata generale, y«, 

 e si ha: 



us Cls' q . r Au :. O u ■'■ 



(1) 3 [u -(« — Q)] : : l'a . = . i (q n xa(óe— Q = « — Q)| 

 (l'J -a {a- (a — Q)}:0:I'«v=V+oo 



(2) B'{ a - (a -f Q) ] : : l,a .== . i { q o <ca{so + Q = a -KQ) ) 

 (2') -a |t»-(tt + Q)| : !J : !,«.= . — co 



(3) Aa, = .q*n tfa.a^Cls'a n va { r Av : x — ì'v . u . x = Lt>] ] 



(4) Va .=.q*na73{a;sA(M-t;r)) • 



Per una funzione f definita nel campo u, ed essendo x nn elemento di Va, se ne 

 deve considerare « la classe dei valori limiti di f quando la variabile varia in a e tende 

 ad x » , Lim (f, a , x), e, se esiste, il "limite della funzione f quando la variabile varia 

 in a e tende ad x » , lim (f , a , x), e si ha: 



a s Cls' n Cls' q . /'e Ops (a , q) . x e sju :. 0„,/- )a , .'. 



(5) Lim (f, a ,#). = . q* n «s [ ve Cls' q . 3» . x - «V" . Ov . «e A/' (a - t - w) } 



(6) Lim (/, a , x) e Clst . . lim (f,u,x) = i Lim (/', u,x).r t 



Il lim a ,%), limite ordinario, esiste quando la classe limite, Lim(/', u , x), con- 

 tiene un solo elemento (è una Cls^, il che si verifica quando coincidono il limite su- 

 periore ed inferiore della classe Lim (/', u , x) che, lo si notijbene, esiste sempre. 



Per le proprietà degli enti (l)-(6) e per la completa J( ed esatta analisi delle varie 

 accezioni del concetto di limite, si consulti il Formulario già citatole i lavori fonda- 

 mentali del Peano indicati nel tomo V, del 1906, a pag. 215. 



