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<jp è una funzione, dipendente da f,u,x, e definita nel campo degli u di- 

 versi da x che, come d' uso, chiamasi « rapporto incrementale di / nel campo u 

 per il valore x ». 



Essendo x un elemento della « classe derivata degli u diversi da ce », 

 V(w - tx) , possiamo considerare la classe, sempre esistente, dei « valori 

 limiti di (f quando la variabile varia nel campo degli u-ix e tende ad x », 

 cioè la classe 



[2] Lim (</> , u- tx , x) . 



È appunto la classe [2] , ente che finora non è stato considerato espli- 

 citamente, che intendiamo definire e che proponiamo di chiamare « classe 

 derivata di / nel campo u per il valore ce » e indicare col simbolo com- 

 posto completo 



[3] Cls D {f , u , x) . 



Se la classe [3] , o la [2] che equivale, contiene un solo elemento, 

 questo è la ordinaria « derivata di f nel campo u per il valore x », che 

 si indica col simbolo composto completo, 



[4] D(f,u,x). 



Esprimendo in simboli si ha 



u s Cls' n Gìs'u . fe Ops (u , q) . x s u o : D u ,f,a> '■ 



T51 Cls D(/% u , x) . =. Lim \ — — y , u-ix , xì 



\ y — x ) 

 [6] Cls D(/, u , x) s Cls, : : D(/' ; u , ce) • == • » Cls D (/, u , x) , 



e queste forme simboliche fanno vedere chiaramente la necessità (omogeneità 

 della definizione) degli indici / ,u , x per la classe derivata e per la 

 derivata ordinaria, quando esiste. 



Nelle ipotesi fatte, la Cls D (f , u , x) esiste sempre-, se essa ha un solo 

 elemento, cioè il suo limite superiore coincide col suo limite inferiore, allora, 

 e solo allora, esiste la ordinaria Y>(f,u,x). Quindi la frase comune «la f 

 manca di derivata nel campo u per il valore ce » si riduce a questa: « la 

 Cls D(/, u , x), sempre esistente, contiene più di un elemento, è una Cls'»; 

 vale a dire le funzioni mancanti, nel senso ordinario, di derivata, sono quelle 

 per le quali la Cls D (f , u , ce), .sempre esistente, contiene più di un elemento. 



Definita così la Cls D(/, u, x) se ne possono studiare le proprietà, certo 

 numerose ed interessanti, e che, indubbiamente, devono semplificare assai le 



