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se l"=^0; ovvero, sono movimenti sotto Iasione di forze parallele alla 

 direzione fissa — g" : k" , se l" = 0. 



Mettendo in vista il centro di forza, ed indicando con 



r = )/{x — x ) 2 + (y — y Q ) % 



la sua distanza dal punto mobile, si vede che alla forza stessa può darsi, 

 nel primo caso, la forma 



/"H r 



(8) P = 



t/G"* + K" 2 ) 3 i> 3 ' 



ove p è la distanza del mobile dalla retta (presa positivamente quando il 

 mobile e la origine sono dalla stessa parte della retta) 



(9) G"?, — K"x + L" = , 



mentre, nel secondo, può scriversi 



(10) F — H y ^ K " 2 r p 3 



Così, i movimenti domandati circa la forma (1) di un integrale 

 primo, e nella ipotesi H =J= , sono quelli che hanno luogo per sezioni 

 coniche secondo la legge (prima forma) scoverta da Hamilton ( x ), cioè^r 

 forze direttamente proporzionali alla distanza dal centro di forza ed inver- 

 samente proporzionali al cubo della distanza da una retta fissa, nel caso in. 

 >*cui questa non passa per un tal centro ( 2 ) ; ovvero sono i movimenti per 

 forse parallele inversamente proporzionali al fubo della distanza da una 

 retta fissa. — Nel 1° caso le traiettorie sono coniche rispetto alle quali il 

 centro di forza e la retta rissa sono un polo e la relativa polare ; nel 2° 

 (che può ritenersi incluso sul 1°) le traiettorie sono coniche rispetto alle 

 quali la retta fissa è il diametro coniugato alla direzione costante della 

 forza; e, in entrambi i casi, quali che siano le circostanze iniziali. 



(*) Gfr. Proceedings of the Koyal Irish Academy, voi. Ili, 1846 — Alle due leggi 

 per movimenti centrali liberi lungo sezioni coniche, oltre al nome di Hamilton, sono col- 

 legati, come è noto, quelli di Villarceau (1852), di Darboux e Halphen (1877), di Batta- 

 glini (1877) per moti liberi in generale; di Glaisher (1878j, di Appel (1889-90, 1891) e di 

 altri. — Appell informa che tali leggi furono dedotte dalVHalphen da quelle dell'aura- 

 zione proporzionale alla distanza o inversamente proporzionale al quadrato della di- 

 sianza, con una trasformazione come quella da lui adoperata {un'omografia; Bnlletin 

 de la Snciété Philomatique de Paris, 7» serie, tomo I, pag. 89), e di cui noi discorriamo 

 al n. 2 del presente lavoro. 



( 2 ) Infatti, se al posto di x , y nel primo membro della (9) poniamo i valori (7), 

 troviamo G" g" : l" + K" k" : l" + L" = (G" g" + K " k" + L" l") : l" = H : l" 4= perchè 

 H 4=0 ed J" è finito. 



