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2. Le due leggi rappresentate dalle (8). (10) furono dedotte, nel 1889, 

 dall' Appetì, dalla legge per forza centrale proporzionale alla distanza dal 

 centro di forza col mezzo dell'omografia (non degenere) 



~ ax ~l~ ky H ~ c ni àx-\- b'y -f - c' 



accompagnata dalla trasformazione (del tempo t nel tempo ti) 



;i2) 



kdti = 



di 



{k = cost =j= 0) 



(a"x -+ - b"y -4- c"Y 



[la particolarità c = e = che introduce Appell nel caso della (8), e quella 

 di c = nel caso della (10) non sono essenziali,' essendo in dipendenza esclu- 

 siva della scelta dell'origine e dell'asse delle y~\. Infatti, identificando la 

 matrice a dritta di (4) con la 



(4') 



b 

 b' 

 b" 



e quindi H con — A [determinante della (4')] l' Appell trova come trasfor- 

 mato del movimento sotto l'azione della forza (ir (/< v =cost. ed r distanza 

 dal centro di forza) il movimento sotto l'azione della forza 



con Hi — — k 2 /"fi H 3 



;G'V — K'^ + L") 3 



che, quando per k 2 si prenda — 1 : fi (ovvero, scelta k, si trasformi la forza 

 [ir con fi = 1 : k 2 ) coincide con la (8) [cfr. Mem. cit. dell' Appell, pag. 107, 

 es. I] . Con la medesima identificazione, quando» oltre a c" = [cioè ad 

 f" = se ci riferiamo alla HJ sia c = 0, lo stesso Appell trova [loc. cit., 

 pag. 1 18, es. Ili] come forza nel moto trasformato la 



Mi 



{G"y -K"x + L") 3 



con iix = k 2 1" fiH 3 



che, a sua volta, prendendo per k 2 il valore \/ g" 2 -f- k" 2 : l'fi coincide con 

 la (10). Dai risultati dell' Appell, confrontati con quelli conclusivi delle ri- 

 cerche di Bertrand, si può dunque dedurre che i problemi dinamici ai quali 

 può competere un integrale della forma (1) e pei quali sia H={=0, sono 

 problemi per forze centrali o per forze parallele secondo le formule (8), 

 (10), e possono tutti essere ottenuti trasformando con le omografie non de- 



( 1 ) Cfr. la Memoria De Vhomographie en Mécanique, nell'American Journal of Ma- 

 thematics, voi. XII, pag. 107, esempi I e III; nella quale trovasi purè accennato (pp. 103 

 e 108) quanto abbiamo testé riferito, in fine della nota (') circa l'Halphen. — Cfr. pure, 

 dell' Appell, l'art. Sur les lois des forces centrales etc, idem, voi. XIII, an. 1891, pag. 153* 

 Questi confronti riusciranno istruttivi in relazione all'argomento di cui è oggetto il pre- 

 sente scritto. 



