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generi del piano ì movimenti per forze centrali proporzionali alla distanza 

 dal centro di forza (i quali ultimi fanno parte pure essi dei movimenti 

 del tipo). 



3. Quando, per una scelta determinata delle costanti g , k , l , ... da cui 

 dipende l' integrale (1), il problema dinamico corrispondente (eccezion fatta, 

 s'intende, delle condizioni iniziali) è stato determinato, X omografia di 

 Appetì (11)-(12) ( x ) che serve a dedurle dal moto centrale per forza pro- 

 porzionale alla distanza, sarà chiamata omografia coordinala all'integrale (1), 

 o al problema corrispondente ; essa trasformerà le coniche concentriche che 

 sono traiettorie nel primo problema, nelle coniche (dotate del medesimo 

 polo, e relativa polare, nel nuovo centro di forza e nella retta limite del si- 

 stema trasformato) che sono traiettorie nel secondo problema, il tempo di 

 passaggio del secondo mobile per la posizione corrispondente a quella del 

 primo, essendo regolato dalla formula 



Indicando con Sl l , iì 2 le omografie coordinate a due dei problemi del 

 tipo, la Sìy 1 trasforma il primo in un problema di moto per forza centrale 

 proporzionatamente alla distanza; questo (con eventuale modifica della co- 

 stante di proporzionalità) viene trasformato da £ 2 nel secondo problema; 

 dunque, dal primo problema si passa al secondo con la omografia ^f 1 S2 2 

 che è, del resto, arbitraria. Se ne conclude che tutti i problemi dinamici, 

 cui possono competere integrali della forma (1) con H4=0, possono es- 

 sere derivati da uno qualunque fra essi trasformandolo con le omografie 

 di Appetì. In particolare, se la scelta dell'omografia coordinata ad uno dei 

 problemi del tipo è fatta in guisa che le traiettorie nel moto trasformato 

 abbiano il nuovo centro di forza per fuoco e, per retta limite, la direttrice 

 corrispondente [ciò che equivale a fare la scelta delle costanti g , k , l . ... 

 subordinatamente alla condizione 



con A = cost=al prod. di yGr"*-\-K"* per l'eccentricità della traiet- 

 toria], la (8) prenderà la forma 



cioè la legge della forza sarà la newtoniana; e si potrà perciò enunciare: 

 Tutti i problemi dinamici cui può competere un integrale della 

 forma (1) con H =j= , possono essere ottenuti trasformando con le omo- 

 grafie di Appetì (del piano o dello spazio) il movimento naturale dei pianeti. 



(*) Cosi noi | roponiamo che, por brevità, venga chiamata ogni omografia del tipo (11) 

 accompagnata dalla trasformazione (12), sia che si tratti, come qui, del piano, sia che si 

 abbia ad operare nello spazio. 



V(l"x + f'r + (l"y + g"f = M'(G"y - K"oc + L") , 



