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Per v = 1, l si può ritenere eguale ad 1 ; il di 2 appartiene allora allo 

 spazio euclideo riferito a coordinate cilindriche r,s,x 3 , quest'ultima in- 

 terpretandosi evidentemente come azimut attorno all'asse O2. Le linee x a 

 (/■ = cost. , 2 — cost.) sono in questo caso i circoli paralleli. 



Più generalmente, in corrispondenza ad un qualsiasi potenziale simme- 

 trico v(r , 2), tutti i coefficienti del ds 2 conservano lo stesso valore lungo le 

 linee x 3 : chiamerò per ciò isometriche tali linee. Un'ovvia conseguenza di 

 questo loro comportamento rispetto alla metrica spaziale (2) si è che ognuna 

 ha la flessione costante. Per conseguirne la espressione esplicita, si ricorda: 

 1°) che la flessione r d'una linea x 3 è caratterizzata dai due coeffi- 

 cienti di rotazione y l33 1 /S33 (')» essendo precisamente r = | f/yf 33 -j- y?33 | ; 

 2°) [cfr. Nota IV, § 2] che, per ogni di 2 ternario della forma 



"5 , e 2 dx\ , si h 



1 



y%é= — e — [i = 1 , 2) , 



y 313 potendosi anche risguardare ( 2 ) come curvatura geodetica della linea x % 

 sopra la superficie x 2 = cost. che la contiene; y 323 come analoga curvatura 

 sopra la superfìcie a'i = cost: l'una e l'altra prese con debito segno. 



Con referenza a (2), ove si faccia corrispondere r ad x x e 2 ad x% , si 

 ha in particolare 



l) 1 = l) ì = X — v , f) 3 = — r-f-logr, 



e quindi 



(5) y^=— eH ~ X {~,— v ^) i ^23 = e~" x v t . 



Dacché tutto risulta indipendeute da x 3 , rimane acquisito che ogni linea iso- 

 metrica è dotata di flessione costante. 



Prendiamo in considerazione una generica superficie 2 = cost. Il qua- 

 drato del suo elemento lineare è, in base alla (2), 



I coefficienti di dr 2 e di dx\ (avendo ormai 2 un valore costante) di- 

 pendono esclusivamente da r; perciò le linee r (x 3 — cost) sono geodetiche, 

 e le linee x 3 , cioè le linee isometriche, oltre ad avere curvatura geode- 

 tica costante, sono — secondo la definizione del Bianchi ( 3 ) — circoli geo- 



(') Ricci et Levi-Civita, Méthodes etc, Math. Ann., B. 54, 1900, pag. 154. 



( a ) Bianchi, Lezioni di geom. differenziale, voi. I [Pisa, Spoerri, 1902], pp. 179-181, 



( 3 ) Loc. cit, pag. 196. 



