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detici delle superficie z = cost. La loro distanza geodetica q dal centro, o 

 circolo singolare, r = è 



(6) g = ( V-» rfr , 



il limite superiore dell' integrale essendo il valore di r , che spetta all' iso- 

 metrica di cui si tratta, e dovendosi, ben si intende, risguardare la z (che 

 comparisce pel tramite di X — v) costante col valore che spetta alla stessa 

 isometrica. 



2. — Potenziali logaritmici — Più stretta analogia delle linee 



ISOMETRICHE COI CIRCOLI PARALLELI DELLO SPAZIO ORDINARIO DI- 

 STANZA dall'asse — Flessione. 



Occupiamoci in particolare dei potenziali logaritmici, cioè di quelle so- 

 luzioni della (3), che non dipendono da s . Si ha per essi, designando con h 

 una costante arbitraria, 



(7) v, = \ , r t = 0, 



e quindi, designando con r una seconda costante, 

 (7') v = Mogf. 



' 



La funzione v, per tutti i ds 2 della elasse (1), si risguarda dotata di 

 dimensioni nulle; r è una lunghezza. Perciò il prodotto r\\ è un puro nu- 

 mero, e con esso la costante h. Dalla (7'), che equivale a ~=e^, risulta 



ulteriormente che r„ ha le dimensioni di una lunghezza. 

 La (4), coi valori (7), porge 



(8) Xl = ^ = ^ , A 2 = ^ = 0, 

 donde, a meno di una inessenziale costante additiva, 



(8') X = h 2 log 



r 



La circostanza che, nell'espressione (2) del di 2 (senza termini rettan- 

 goli in dz), tutti i coefficienti sono, nel caso attuale, indipendenti da s, per- 

 mette di affermare che le superficie z = cost. sono piani geodetici', basta 

 aver riguardo alle equazioni lagrangiane delle geodetiche. Le linee isome- 

 triche x z = cost. hanno così non soltanto la flessione costante, ma anche le 

 altre caratteristiche degli ordinari circoli paralleli attorno all'asse Oz , es- 

 sendo circoli geodetici dei piani, pure geodetici, z = cost. 



