Dacché ogni geodetica di tali piani lo è altresì rispetto allo spazio am- 

 biente, la q definita dalla (6) rappresenta la minima distanza d'una ge- 

 nerica isometrica dati 'asse (superfìcie singolare) r = 0, il minimo riferen- 

 dosi a tutte le linee spaziali (non soltanto a quelle che appartengono alla 

 stessa superfìcie s = cosfc. , cui conviene limitarsi quando v dipende anche 

 da s). 



Ove si ponga per brevità 



(9) n —l = h 2 — h, 

 si ha, per qualsiasi valore reale di h , 



n *±* h* — h + 1 = .(* — l Uf + > ; 



inoltre, dalle (7') e (8'), 



(10) «—(*)* • ^.-{tT- 



Dacché n^>0, la funzione r n_1 è integrabile a partire da r = 0, come 

 si richiede perchè abbia senso la distanza q dall'asse. In modo preciso 

 risulta 



(11) Q = 



nr'À 



La curvatura geodetica d'una linea isometrica (nel piano s = cost. cui 

 essa appartiene) è espressa dalla prima delle (5). Si può anzi aggiungere 

 che y 313 ci dà la detta curvatura presa positivamente quando la concavità 

 della curva è rivolta nel senso delle r crescenti, negativamente nel caso 

 opposto. \Se si vuole rispecchiare la condizione qualitativa che i circoli 

 geodetici sieno concavi verso il centro (r = 0), bisognerà ritenere y 313 <C 0. 

 Ora si ha da (5), (7) e (10) 



y 3 .3 = — (1— > 



donde la disuguaglianza 



(12) h<l. 



D'altra parte la flessione r (annullandosi 7323) coincide col valore as- 

 soluto di y 3 i 3 . Possiamo quindi ritenere, esprimendo r per q a norma 

 della (11), 



„ 1 — hi 



(13) 



n () 



Rendiconti. 1918. Voi. XXVIII, 1» Sem. 14 



