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3. — Curvature e direzioni principali dello spazio 

 corrispondenti ad un potenziale logaritmico. 



Dal § 6 della Nota precedente risulta che le linee isometriche sono, 

 per qualsiasi potenziale simmetrico v(r ,g), linee principali di curvatura. La 

 corrispondente curvatura principale <w 3 vale 



V ^ — lóg^,v\, 



il parametro misto V° riferendosi alla forma euclidea dr 2 -f- dz 2 . 



Per il potenziale logaritmico si ha in conformità, dalle (10), (7), (9) 

 e (11), 



™2(n— 1) 1 m 1 



(14) 1) = - L-^* ^ . 



r 2n % ì ?2 



Le altre due curvature principali dipendono dai simboli di Ricci a u , 

 a 12 ,a 22 . Le loro espressioni generali si trovano esplicitate nella Nota pre- 

 cedente. Senza richiamarle materialmente, basterà ora procurarsi i valori 

 delle a ih forniti dalle formule (24) di detta Nota. 



Sostituendo in queste formule, per le derivate covarianti v% , da rife- 

 rirsi alla forma euclidea dr 2 -f- dz 2 , le derivate ordinarie, e tenendo conto 

 che a n ik sono i coefficienti (1 o 0) della forma suddetta, si ha,' per le (7), 

 (8) e (9), 



-Ai %h 3 — 3h 2 , (h — h 2 ) h _ (1 — h) (1 — n) 



^ ^ y\% I ^»2 ^>2 ^ 



a 12 _0 ; a 22 — ^ — — . 



L'annullarsi di a 12 sta ad indicare che le linee coordinate r e z sono, 

 al pari delle x 3 , linee principali di curvatura. E le rispettive curvature 

 principali w 1 e co» si hanuo in conformità dividendo a u e a 22 per i coeffl- 



— \ . Con ciò, te- 

 nendo conto della (9), risulta 



(1 - h) (1 — n) 1 h(l — n) 1 



(15) », 



9 ' * 9 9 



annullandosi, come deve sempre accadere negli spazi vuoti, la curvatura 

 media co, -f- «2 -f- «3 • Dalle (14) e (15) apparisce che le tre curvature 

 principali sono distinte (circostanza già rilevata in generale alla fine della 

 Nota precedente) ; e tutte inversamente proporzionali al quadrato della 

 distanza geodetica dall'asse. 



