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Egli scrive, a pag. 65, che io sarei riuscito « a dimostrare (sono parole 

 sue) un teorema che può enunciarsi così : 



Supposto : 



QO 



1°) che la Y_ n n (x) converga in (a , b) , quasi dappertutto verso una 

 i 



funnione n(x) ; 



2°) che tanto la n{x) quanto la n n (x) siano funzioni a variazione 

 limitata nel detto intervallo ; 



3°) che la serie delle derivate {considerate là dove esistono) 



00 



2_ n' n {x) sia quasi dappertutto convergente, 

 i 



00 



sarà, quasi dappertutto, tì(x) = J n'Jx) « . 



,i 



Aggiunge poi, in nota a piè della pag. 66: « Il Tonelli nella Nota II 

 {Successioni di curve ecc.) s'era proposto di dimostrare che la 3* condizione 

 posta nel suo teorema è affatto superflua perchè conseguenza delle altre due; 

 che si può cioè prescindere dall' ipotesi sulla convergenza delle serie deri- 

 vate. Il suo teorema però, così modificato, cessa di essere vero ; per convin- 

 cersene, basta ricordare il classico esempio di Abel : la serie 



n — x sin nx 



2 = — n 



soddisfa alle condizioni l a e 2 a del suo teorema; ciò nondimeno, la serie 



delle derivate T cos nx è divergente! « 

 i 



Questo è quanto scrive il sig. Vergono; e il lettore potrà per soprappiù 

 osservare che non è vero neppure il teorema di cui sopra ho riportato l'enun- 

 ciato e che il sig. Vergerio ritiene esatto (*). 



Se non che è assolutamente falso che io abbia tentalo di dimostrare 

 ed anche semplicemente che io abbia enunciate le proposizioni che il 

 sig. Vergerio mi attribuisce. 



(') B.ista, infatti, considerare il seguente- esempio. Sia la funzione n n (x) definita nei 

 seguente modo: 



T — 1 T 1 T ' 'O 



n n [x) = nell'intervallo _<.£< — (r — 1 , 2 n), 



n un 



riniti = 1 per n = 1 . 



E evidente: 1°) che la funzione n n {x) converge uniformemente, su tutto l'intervallo 

 (0,1), verso la funzione n(x) = x ; 2°) che tanto la n{x) quanto la n n {x) sono funzioni 

 a variazione limitata in (0, 1); 3°) che la derivata n' n {x) esiste quasi dappertutto ed è 



uguale a zero, e che pertanto n' n {x) converge quasi dappertutto, per n >oo, allo zero; 



4°) che, ciò nondimeno, essendo sempre n' x) = 1, la n'Jxì non converge quasi dapper- 

 tutto, per n >■ co , alla n'(x). 



