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I dne teoremi da me veramente enunciati e dimostrati (e che nessuno 

 ancora ha mostrato non esser veri) sono i seguenti: 



a) Supposto : 



1°) che la successione di funzioni, date su (a , b) , Ui(x) , n 2 (x) , ... 

 n n (x),... converga quasi dappertutto verso una funzione n(x); 



2°) che la lunghezza della curva y = n n {%) tenda a quella, supposta 

 finita, di y = n(x) ; 



3°) che la successione delle derivale (considerate là dove esistono) 

 n\{x) , n'ì{x) -, ... , n' n (a)., .... sia quasi dappertutto convergente; 



è quasi dappertutto lim n' n {x) = n'(x) [loc. cit. ( 2 ), pag. 22]. 



n ~* co 



b) Se la successione di funzioni n x (x) , n^{x) , — i n„(x) , .., , date in 

 (a,b), converge quasi dappertutto verso una funzione n{x); se, inoltre , 

 la lunghezza, supposta finita, della curva y = n n (x) tende a quella, pure 

 finita, di y = n(x) ; allora la successione delle derivate n[(x) , n' 2 (x) , ... . 

 n' n (x) , ... , considerate solamente là dove esistono, converge in misura 

 verso la derivata n\x) [loc. cit. ( 2 ), pag. 85]. 



Confrontando questi enuuciati con quelli che mi attribuisce il sig. Ver- 

 gerio, risulta che il detto signore ha sostituito alla condizione: 



« che la lunghezza della curva y = n(x) tenda a quella, supposta 

 finita, della y = n(x) » ; 

 l'altra: 



« che tanto la n(x) quanto la n n (x) siano funzioni a variazione li- 

 mitata ». 



Ora tutti sanno che queste due condizioni non sono equivalenti, perchè 

 la seconda può essere soddisfatta senza che lo sia la prima. Ed ecco perchè 

 le due proposizioni da me dimostrate vengono trasformate dal sig. Vergerio 

 in due altre non vere. 



Osservo inoltre che, a proposito del teorema b), il sig. Vergerio ha 

 anche sostituito la convergenza, della n' n (x) alla n'(x), alla convergenza in 

 misura; ed è ben noto che ciò è tutf altro che lecito. 



