un punto della curva, proporzionale direttamente alla distanza da esso 

 ed inversamente al cubo della distanza dalla tangente nel punto. E questi 

 ultimi problemi costituiscono effettivamente un gruppo a parte nei riguardi 

 del dato integrale, poiché possono riguardarsi come aggregati a quei primi 

 soltanto in quantochè V integrale stesso, verificandosi il caso, escluso dal 

 Bertrand, viene a prendere la forma intiera, e, come tale, a confondersi 

 con l'integrale delle aree, comune a tutti i moti per forze centrali (in caso 

 limite, per forze parallele); ed in quantochè. anche essi presentano, nella 

 loro totalità, il carattere d' invarianza rispetto a tutte le collineazioni di 

 Appell del piano. 



2. Nel caso escluso dal Bertrand, adoperando le medesime notazioni 

 di lui, l' integrale dato può porsi nella forma 



(1) &-»t(* + <*) y' + (g + mly) x' + R] X 



X [_(k' + ix) y' + (g' + ml'y) x' + C]" 1 , 



m essendo un numero scelto a piacere. Allora, posto 



(2) g ■ g = k' : k = /' : l = q , 

 si avrà 



(1') = [_(k + Ix) y ,J r(9 + mix) x' + R] X 



X jjA + Ix) y' + (g -\- Imx) x' + ; 



1 oo+l 



d'onde, indicando ancora con a la nuova costante — • r , e ponendo 



' óQ Qa — 1 



Bg + . 



= »'i (v = g , k , l) , t: ^• = r 1 . 



(a) « = (Ai + /lt) .?/' + + x ' + R i 



l'integrale viene ad avere la forma intiera. Da quanto venne stabilito 

 dallo stesso Bertrand [loc. cit., pag. 115, forra. (3)], si ricava dopo brevi 

 calcoli che dovrà essere, insieme ad R t = cost., 



— (0i+wJiw) = O , t~ (Ai -\- lix) == Q , 



il che implica Ro — C = cost. (e conseguentemente pure Rg + C = cost.) e 

 Kgx + mh y) , ^(Ai + /, «:) == Q ^ 



ciò che dà 



(-1) (w + i)/ = 



dovendo essere esclusa la scelta g = C : R che trasformerebbe il 2° membro 



