— 127 — 



della (V) nella costante 1. La (4) richiede che sia m — — 1, ovvero 

 1 = 0. Per 1 = 0, le (2) informano che deve essere anche g = k=0, ed 

 allora, scrivendo ancora « al posto di l : a , in luogo della (1) troviamo 



(3') « = (&'-}- l'x) y' + (g' — l'x) x + Ri , 



cioè un integrale della forma (3) senza che la condizione /' = porti seco 

 k' = g' = 0. 



Possiamo dunque supporre che alla (4) si soddisfi soltanto con m — — 1, 

 ed allora ne deduciamo che la condizione m = — 1 è pure necessaria 

 quando si verifichi il caso escluso dal Bertrand (cosa che questi non rilevò), 

 a proposito della discussione delle form. (5) e seg. al § Vili della sua 

 Mem. cit. Sicché, a parte il fatto che le (3), (3') già dicono trattarsi del 

 noto integrale delle aree [e di forze centrali verso il punto (x = g l :l 1 = 

 = '• l 5 Vo— — ki : li — — k:l) se / =^= 0, di forze centrali verso il punto 

 {x' = — k' : /' , 2/Ó = g' : l') se l = , l' 4= > o di forze parallele nella 

 direzione — g : k' se, con 1 = 0, è l' = 0] , noi dobbiamo ritrovare questo 

 risultato come conseguenza dell'altro nel quale l'annullarsi di H non sia 

 conseguenza della proporzionalità fra gli elementi delle sue due prime oriz- 

 zontali. 



3. Ritenuto ora H == con esclusione delle (2), per l' integrale dato 

 si avrà la forma 



(5) «[(* + Ix) y' + (g -ly)x'+X] + l'x) y' + (g f - l'y) + ^J" 1 , 



dove A , fi sono, rispettivamente, le costanti di proporzionalità fra i minori 

 complementari degli elementi della seconda e della prima orizzontale di H 

 ed i minori complementari della terza. In fatti, riferendosi alle espressioni 

 per R,C riportate nella Nota I [cfr. form. (3)], poiché Q' = AG " , ... , 

 Gr = fiG" , ... , si trova per R (ed in modo analogo per C]: 



R = X(G"y — K"x + L") (G"y - K"x + L") _1 = X , 



e, per le componenti X , Y delle forze, le equazioni 



\ (G"y — K"x + L" ) X = , {G-"y — K"x + L") Y = 

 (Ò) ) [_X(l' y — g') — ^{ly — g)-] X - + k') — p^lx + *>] Y= 



che, nelle condizioni supposte di esclusione delle (2), restano soddisfatte 

 soltanto dai valori X = , Y = ; ciò che corrisponde al caso ovvio di 

 moti senza forze sollecitatrici, vale a dire di moli rettilinei ed uniformi, 

 lì integrale (5), mettendo al posto di x , y' le componenti della velocità ini- 

 ziale diventa la equazione della retta che rappresenta la traiettoria del 



mobile. 



E f v ; é 



