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Noi supporremo che le due equazioni f(x) — e /\(x) — abbiano 

 i coefficienti numeri ragionali, e che il campo di razionalità da cui si 

 parte sia quello dei numeri razionali, che si indica sempre con [1]; invece 

 con [J?iJ indicheremo il campo ampliato, dopo l'aggiunta di fa . Sicché il 

 problema di cui vogliamo occuparci è il seguente, di indole pratica, e che 

 è fondamentale nella teoria di Galois delle equazioni e delle grandezze 

 algebriche : 



Dare dei metodi pratici per decomporre un dato polinomio a coeffi- 

 cienti razionali f\x) in fattori irriducibili nel corpo algebrico \_fa~] (')• 



A questo problema è parso sinora che avesse già risposto il Kronecker, 

 poiché egli lo tratta nel § 4 dei suoi G.rundsiige, dopo di aver risoluto 

 quello di decomporre f(x) nel corpo [1]. Qui ci proponiamo di dimostrare 

 che quel metodo dato dal Kronecker per decomporre f(x) in fattori irridu- 

 cibili nel corpo \_fa~] è inesatto, e in generale non risolve affatto il pro- 

 blema proposto : sicché il detto problema rimaneva, sino ad oggi, per 

 quanto è a nostra conoscenza, insoluto. Noi qui lo risolveremo, modificando 

 opportunamente lo stesso metodo del Kronecker. 



Ricordiamo prima quale è quel metodo. Posto x — z -j- Afa , con X 

 numero razionale indeterminato, e posto, per brevità, f(z-\-Xfa) = 'F(z 1 ,fa), 

 si supponga che 



(2) Fi(* , fa) ; F 2 (s , fa) ; ... ; ~F t (z , fa) 



> siano i fattori irriducibili cercati di . in [fa'] . Supposto inoltre f x {x) 

 già irriducibile in [1], si dicano fa , /? 2 , ••• , fin le sue radici, coniugate 

 di fa rispetto a [1]. Si formi il quadro 



/ f{z _|_ Xfa) = F(* ,fa) = F,(i , fa) . F 2 (s , fa) ... F t (* , fa) ; 

 J f{s + Vt) = F(* , fa) = F,(* , fa) . F 2 (* . fa) ... F t (z , fa) ; 



f(z + Xfi n ) = F(i , /S n ) = F x (* , /?„) . F,(* , ... F,(* , /T n ) . 



Si eseguisca il prodotto delle funzioni che si trovano in una stessa 

 colonna di questo quadro. Posto 



<»(*) = ¥(s .fa). F(* . ft) . . F(* . /?„), e = Ff(V, A) . F,(* , .;. F,{« , /*„) , 



per ? = 1 , 2 , ... , t , le funzioni <t>(z) , <jPi(£) , g>t{z) , .-. . <pt(z) saranno tutte 

 a coefficienti razionali, che si trovano con dei calcoli di funzioni simme- 

 triche. Si decomponga <l>(z) in fattori irriducibili in [1]: ciò che sì sa 

 fare. Per fissar le idee, si supponga infine che a x -\-Xfa sia una radice di 



(') Per quanto riguarda le denominazioni che usiamo, seguiamo il Weber, nel suo 

 trattato. Algebre xupérieure, 1898. 



Per es., ricordiamo che si chiamano coniugate le radici d'un'equaz. irriducibile. 



