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e che d^s) sia un fattore irriducibile di <I>(s) avente quella radice. 

 Giunto a questo punto, il Kronecker così prosegue: 



* 11 massimo comune divisore tra F(s , p x ) e questo fattore 6 X {&) ci 

 « dà il polinomio cercato Fi(* ,/?,); analogamente per gli altri fattori: 

 « trovati così questi fattori (2) di f(z-j-i>Pi), irriducibili in si tro- 



« vano poi subito da essi i fattori di f(x) irriducibili in [/Si], sostituendo 

 « in essi di nuovo x — X@ x al posto di z. È poi da notare che la sostitu- 

 « zione di s -f- Ifii al posto di x è fatta col fine di far comparire effetti- 

 « vamente fi x nei coefficienti ». 



2. Orbene osserviamo che in generale non è esatto che, ad esempio, 

 Fi(,s./tfi) sia sempre il massimo comune divisore dei due polinomi F(£,/f]) 

 e Bi(z) : in generale esso è soltanto un loro divisore comune, e per convin- 

 cerci di ciò, lo vediamo subito con un esempio ( 1 ). 



Prendiamo un polinomio G(x) irriducibile in [1] , e diciamo 



(4) Fi(* , ; .F 2 (£ , Pi) ; ... ; F,.^ , 



i suoi fattori irriducibili in e poniamo che sia r >. 3 ( 2 ). Detto poi 



t un numero > 2 , e <C r , poniamo 



5) F(* , ft) = F } (« , ft) . F 2 (<? , A) ... F t (* , /?,) , 



dimodoché F(s , /^j) conterrà effettivamente nei suoi coefficienti, e le radici 

 di F(£ , =G saranno tutte coniugate tra loro rispetto a [1], poiché tali 

 sono quelle di G(x) = Ò . Poniamo s = x — X§ x , e consideriamo la funzione 



F(s , ft) = F(ìc — Xfr , /Si) . 



(') Basta pensare che F a (z , può avere qualche radice comune, per esempio, con 

 1?i{z>Pa), perchè si presenti subito il dubbio sull'affermazione di Kronecker. 



( 2 ) Se ne potranno certamente costruire di tali polinomi irriducibili in [V\, che in 

 un corpo [j3j si scindano in più di due fattori irriducibili. Basta prendere infatti una 

 equazione razionale in [_\~\ : 



f{z) — {z — «i) ■ {z — a 2 ) ... (z— a m ) = , 



avente per gruppo di Galois il gruppo totale sulle sue radici. Considerata la sostituzione 



8 = («i , « a » ... , «fj.) ■ i , »■ i «v) • («v+i i ••• , , 



si indichi con r il gruppo generato dalle potenze di S , e si dica ^ un elemento del 

 corpo rj«i', èea , ■« , <*m] che abbia per sottogruppo numerico T. Rispetto al corpo il 

 gruppo di Galois di f(z) = sarà ridotto a T\ e f{z) si scinderà nei tre fattori irri- 

 ducibili 



(ce — a,) {x — a 2 ) ... {x — Kp,) ; (x — apn-i) ... {v — a v ) ; (X — a v +i) — — «>») ■ 

 Analogamente se si vogliono più di tre fattori irriducibili. 



