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Partiamo ora da questa funzione ¥{x — A/?,,^); sostituendo in essa 

 la quantità z -\- Ifii al posto di x , si ottiene precisamente ¥(z , fì x ). Questa 

 funzione si decomporrà in fattori irrriducibili secondo la (5); si potrà for- 

 mare il quadro analogo al (3). Siccome le radici dei vari fattori ¥i(s,^), 

 per i=l ,2 , ... i, sono coniugate rispetto a [l], esse soddisferanno tutte 

 all'equazione irriducibile d^s) = 0, e perciò il prodotto ¥(z , p x ) è contenuto 

 in 6 x (z): vale a dire che il massimo comune divisore a ¥(s , § x ) e a Oi{z) 

 sarà ¥(s , § x ) stesso, e non sarà ¥1(2,^): ciò che dimostra che è errata 

 l'affermazione del Kronecker che il detto massimo comune divisore sia proprio 

 il polinomio irriducibile richiesto F^z,^). Dunque col suo metodo non si 

 può decomporre questa funzione F(z,^ x ) in fattori irriducibili in [jffi]. 



E se *P(sc) è un polinomio razionale in [1] che contenga F(sc — l^,^), 

 posto : 



questo polinomio &{z , /?,) conterrà F(z , ; e siccome per quest'ultimo il 

 metodo di Kronecker non è valido, neppure il polinomio dato *P(x) non si 

 potrà decomporre con quel metodo in fattori irriducibili in . 



3. Ora vogliamo modificare il metodo di Kronecker, in modo da ren- 

 derlo valido. Dimostriamo che: 



Se f(x) è irriducibile in [1], allora il detto metodo è valido, 

 cioè allora il massimo comune divisore tra F(z , § x ) e B x {z) è veramente 

 F x {z , fi x ). 



Infatti siano a x , ! a 2 , ... , a m le radici della (1) : siccome z = x -\- 1§ X , 

 le radici di F(s , (ì x ) = saranno le seguenti: 



ai -j- A/S, . per i = 1 , 2 , ... , m . 



Se dimostriamo che due di queste radici non sono coniugate rispetto 

 a [1] , se non lo sono rispetto a , seguirà che il prodotto 



F 2 (^/? 1 ),F 3 («,/? 1 ) ... F,(j, fi) 



non ha radici comuni col fattore irriducibile x (z), il quale ammette come 

 radici tutte le coniugate di <*: + Afi rispetto a [1]; cioè seguirà che 

 F x (z,p x ) è il massimo comune divisore tra F(z , fì x ) e x (z). 



Supponiamo che a* -f- Xfi x sia coniugata di «i -f- Afi rispetto a [1]; 

 vi sarà una sostituzione S del corpo normale [_a x , a 2 , ... , a m , fi , ... , fi] 

 che porterà a x -\- A/?, in a t -f- Afi . Si vede subito che la S porterà a 1 in « t - 

 e fi in fi stessa ('); cioè la S lascerà ferma fi , e sarà una sostituzione 



(') Se la S porta a l in «/, e t in jS,', deve essere + A/3', = + JljS, ; donde, 

 siccome 1 è un numero indeterminato, e le quantità a r + V« sono tutte distinte, segue 

 che deve essere «/ = «,•, e /S/ = (3, . 



