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quali l'equazione differenziale delle geodetiche ammette integrali quadratici 

 nelle derivate, e dimostra che (prescindendo dal caso ovvio della omotetia) 

 le superfìcie suscettibili di rappresentazione geodetica sopra un'altra for- 

 mano una classe estremamente limitata, quella della superficie di Liouville, 

 caratterizzata dall'esistenza sulla superficie di un doppio sistema ortogonale 

 ed isotermo di ellissi e iperbole geodetiche. L'altra Memoria sulla rappre- 

 sentazione sferica contiene risultati di fondamentale importanza, in partico- 

 lare quello, noto ora sotto il nome del Dini, che assegna la condizione ne- 

 cessaria e sufficiente perchè un doppio sistema di linee sulla sfera costituisca 

 l' immagine delle asintotiche di una superficie, ed altri interessanti teoremi 

 particolari. 



Se nel seguito l'attività scientifica del Dini si volse, come vedremo, 

 ad altri e più alti studi di pura analisi. Egli conservò sempre una predile- 

 zione per questo campo delle sue ricerche giovanili, e nelle lezioni univer- 

 sitarie, particolarmente nel corso di geodesia, amava svolgerne i primi prin- 

 cipi, addestrandovi i suoi allievi e spronandoli alla ricerca. 



Contemporaneamente agli ultimi studi accennati di geometria infinite- 

 simale, il Dini ne compieva altri di algebra, ed anche in questo campo 

 produceva importanti lavori. Le sue Memorie sulle serie a termini positivi 

 e sui prodotti infiniti sono molto notevoli non solo per i nuovi 'resultati 

 conseguiti, ma ben anche per il perfetto rigore della ricerca, inusitato a 

 quei tempi, e che già dimostrava nel giovane autore quel singolare acume 

 critico che doveva poi dominare le maggiori produzioni successive. Nuovi 

 ed interessanti criteri di convergenza Egli aggiunse, che comprendevano 

 come casi particolari e il teorema di Kummer e quasi tutti gli altri criteri 

 prima noti, ed estese pure notevolmente il criterio di Gauss. E nella 

 Memoria sui prodotti infiniti troviamo per la prima volta stabilite in una 

 maniera rigorosa, che è sostanzialmente quella adoperata anche oggidì, le 

 condizioni necessarie e sufficienti per la convergenza incondizionata. 



Passiamo ora a parlare delle più alte ricerche compiute dal Dini nel 

 campo dell'Analisi, ricerche che singolarmente accrebbero e consolidarono la 

 fama del matematico italiano, collocandone il nome nella schiera dei nostri 

 più illustri: Betti, Brioschi, Cremona, Beltrami e Casorati. Non essendo 

 qui possibile seguire partitamente le numerose pubblicazioni ed i trattati 

 che segnano le fasi dell'opera così vasta e sistematica compiuta dal Dini, 

 nel rendere sicuri i fondamenti dell'analisi e portarne a maggiore altezza 

 l'edificio, converrà limitarsi a indicare soltanto i criteri direttivi, che tale 

 opera informarono, sino alle pubblicazioni delle litografie e dei libri, che 

 ne riassumono e ne condensano gli importanti risultati e formano ancora 

 oggi la guida più sicura per chi voglia approfondire gli studi d'analisi e 

 trarne vigore per la ricerca originale. 



Fino dal principio della sua carriera scientifica, come il Dini stesso 

 racconta, Egli era stato colpito dall'osservare che alcuni principi] r la- 



