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tengono le idee sulle serie asintotiche da altri sviluppate in seguito: nel 

 calcolo integrale si osservano particolarmente il capitolo sugli integrali de- 

 finiti, gli studii generali sulle funzioni sempre finite o che crescono all'in- 

 finito, sulle funzioni dipendenti da altre variabili oltre quelle d' integrazione, 

 gli studii sulla integrazione per serie, e molti altri argomenti di fondamen- 

 tale interesse. 



Da queste lezioni, sebbene riprodotte fino al 1907 solo in litografie, 

 largamente attinsero italiani e stranieri, e si può ben dire che esse hanno 

 servito e servono in larga misura, insieme coi Fondamenti, alla diffusione 

 della coltura analitica moderna. Fu soltanto nel 1907 che il Dini si decise 

 a pubblicare per le stampe queste sue lezioni, dapprima col proposito di 

 riprodurre testualmente le antiche litografie, coll'aggiunta di poche note 

 esplicative a pie' di pagina; ma in seguito, per necessità di cose, il piano 

 primitivo venne modificato coll'aggiunta di nuovi ed "interessanti capitoli, 

 sicché il trattato, ora compiuto in quattro volumi, non solo offre un'esposi- 

 zione completa del calcolo infinitesimale e delle sue applicazioni geometri- 

 che, ma si spinge ancora più in là colla esposizione sommaria delle più re- 

 centi conquiste dell'analisi, inserita alla fine del quarto volume. Quivi un 

 lungo capitolo, il XXX11, è dedicato alla moderna teoria delle equazioni inte- 

 grali, con nuove ed interessanti vedute sulle equazioni così dette di prima 

 specie, collegate ad un antico studio del Dini. su cui torneremo più oltre. 

 In fine, nell'ultimo capitolo XXXIII, si trovano esposte le nuove idee sulle 

 misure dei gruppi di punti o numeri, e le estensioni del concetto d' inte- 

 grale secondo Lebesgue. Denjoy e Perron, che si subordinano ad altri 

 infiniti modi di definizione di integrali, tutti collegati dal Dini ai concetti 

 stessi di Riemaon. 



Ritornando all'analisi superiore, dobbiamo ancora dire degli studi del 

 Dini, forse ancora più importanti per originalità, sugli sviluppi in serie, 

 che tanto interessano l'analisi e la fisica matematica. Anche questi studi, 

 nei quali spiccano egualmente la forza inventiva e l'acume critico dell'autore, 

 rimontano ad epoca relativamente antica, e vennero raccolti e pubblicati dal 

 Dini nel 1880 nel bel volume: Serie di Fourier ed altre rappresentazioni 

 analitiche delle funzioni di una variabile reale. Ai più celebri di questi 

 sviluppi in serie di Fourier, di funzioni sferiche, di funzioni di Bessel, 

 altri innumerevoli ne aggiungono l'analisi e la fisica matematica; ma per 

 la maggior parte di essi l'effettiva sviluppabilità era posta soltanto formal- 

 mente, ed anche per altri più noti, ove la validità era rigorosamente assi- 

 curata, le condizioni si presentavano alquanto restrittive ; e mancava inoltre 

 una deduzione uniforme, che tutti li facesse derivare da un'unica sorgente. 

 Il Dini rinvenne un procedimento generale ed uniforme, che non solo gli 

 permise di stabilire in modo generale e rigoroso la va ita di tutti questi 

 sviluppi, ma ancora di allargarne estremamente il campo, raggiungendo una 

 generalità grandissima e non più eguagliata, nonché superata, da altri. 



