ove a , , é 2 sono infinitesimi di ordine superiore al quarto; perciò, a meno 

 di tali infinitesimi, si ha : 



èi -f- d'di = f(Q) = M, 



cioè d'dt=0, onde = costante, e ciò prova appuato il teorema di Schur. 



8. In ciò che precede abbiamo ottenuto, con minimi mezzi e con calcoli 

 semplicissimi, le geodetiche degli spazi curvi, la curvatura riemanniana e 

 il teorema di Schur, che con i metodi algebrici usuali richiedono calcoli 

 complicatissimi. In altri lavori vedremo altre proprietà che otterremo pure 

 in modo elementare. Per ora è intanto utile confrontare e collegare ciò che 

 abbiamo ottenuto, con quanto si fa con i metodi algebrici ordinari. 



L'algebra ordinaria degli spazi curvi è basata sulla forma quadratica 

 dilferenziale f, che, sotto forma assoluta, è espressa da f = dPXadP. 

 L'introduzione delle coordinate conduce a invarianti, covarianti, controva- 

 rianti, ecc. (che, naturalmente, spariscono con lo sparire delle coordinate), 

 che si ottengono considerando le trasformazioni biunivoche dei punti P in 

 altri punti P', che non alterano la forma f. 



Dobbiamo dunque, per l'accennato confronto, considerare, oltre la tras- 

 formazione di Q in P, anche un'altra trasformazione di Q in P\ vale a 

 dire una trasformazione biunivoca di P in P' in E n . Porremo: 



(1) ? = TP' ' "'^W'?' 



, , dP . ,. dP' 



(2) G = dP" e ^ indl ff - 1= =^' 



Osservando che dQ/dP' = dQ/dP . dP/dP' , si ha: 



(3) §' = fio , /? = /*'<r-i, 



e poiché a! = K/5'. /?' = Kff . K/S . , si ha pure : 



(4) a! — Kg . a . a , a — Ko~' . d . o" 1 



che stabilisce le relazioni fra le metriche determinate da a e a'. 



È ovvio che il ds 2 = d,Q 2 deve essere indipendente dalla trasforma- 

 zione di C„ in E„, cioè deve essere: 



ds 2 = dQ 2 — dPXadP = dP'Xa'dP' , 



il che risulta anche osservando che dPXadP = a dP'Xaa dP' '= dP' X 

 XKo.uadP'. Viceversa, affinchè sia dPx adP= dP' Xa'dP' , deve va- 

 lere la prima delle (4). Ma tutto ciò, con le forme assolute, è così ovvio 

 che non ha bisogno di essere enunciato. 



