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9. Ad uno spostamento arbitrario dP' di P' in B„ corrisponde un da 

 dato da: 



(5) da = <f.® r t{a',dP') — <P P (a,dP).a, 

 alla quale, ovviamente, si può dare la forma : 



(5') u = a . <D e t (a' , u) — <X> P (« , cu) . a ; 



considerando poi un altro spostamento SP' di P' in E n , si ha: 



(6) òda — dò<s = cr . P r («' , tf />' , «TP') — P (« ,dP,óP) .a , 



che giova confrontare con la (5). 



Queste formule si dimostrano osservando che da /?' =]pa si ricava 

 df? = d§ . a -\- § . da , e quindi per la (5) del § 2 : 



p.da = p' . <P P r{a' , dP') — /S . d> P (« ,dP).a ; 



operando con /?"' e osservando che fi' 1 . fi' = a , si ha la (5). 

 Applicando poi J al valore precedente di e^?' risulta: 



ddp = dd§ . a -f- dp . rftf + óp . rf<r + /? . <Mcr ; 



scambiando tra loro d e ó q sottraendo si ha: 



ódp' — dóp' = (ódp — dàp) a + /?(<Mcr — drftf) ; 



da questa, per la (11) del § 5 si ricava: 



p(àda — dèa) = /S' . @ P r(a' , rfP' , SP') — p .& P (a , dP , dP) a ; 



operando con (3~ l si ha la (6). 



10. Se u è un vettore funzione di P e quindi anche di P' si ha: 



(7) dn + 0> P (« , dP) u = cr \d{<r- l v) + <M«' • rfP') . tf-'uj , 



(7') ^ + <Pp(a , U) = <T j K dp + <M« . ff-'u) j cr- 1 . 



Infatti, dalla (5) viene: 

 (a) de . a- 1 il = a . (p P ,(a , dP') . r'u — <2> p (a , dP) u ; 



ma u = cr o~ 1 u , cioè eiu = t/cr . a~ l u -|- cr . d(a~ l u) , e ricavando di qui 

 da.a~ l n e sostituendo nella (a) si ha subito la (7). 



In virtù della (8) del § 4, e ricordando [che dP' = a- 1 dP , la (7) 

 diventa : 



che, per l'arbitrarietà di rfP dimostra la (7')" 



