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Per u = àP= oó'P', la (7) assume la forma: 



(8) dàP + 0>p(« , dP) 6P= a \ dSP' + <M«' , dP r ) óP' ( , 

 e, in particolare, per ò = d: 



(8') d 2 P + 0> P (a , di 3 ) dP = e J c/ 2 P' + («' , dF) dP' \ . 



Secondo il comune linguaggio, il 1° membro della (7') sarebbe la derivata 

 controvariante di u rispetto a P. 



Come complemento della Nota I, definiremo una nuova omografia 

 r*(a,u) tale che, per x vettore arbitrario si abbia: 



(9) J r *(a,u)x=K<2>p(a,x).aU. 



Questa nuova omografia ha per espressione: 



(10) T%(a , u) = S P (a , 11) — a . <P P a , u) = 



= 1 1 S P (« , u) + KS P (« , u) - 1| u j. . 



Infatti dalla (4) del § 2 e dalle solite formule del Pieri, risulta: 

 2K<X> (a , X) . au = X j U + K S(a , x) U — S(a , x) U == 



= SC«,u)x + KS(«,u)x— {~ujx, 



da cui segue la (10). 



11. Avendo u il precedente significato si ha: 



(11) du — r*(a , o-'n) dP = Kcr- 1 ) d{Kau) — rp{d , a'- 1 K<m) di* } , 

 a cui si può dare la forma: 



(ir) - r P > , «-'u) = Kcr- j - . K<m) | ex- 1 . 



Infatti, operando con K sulla (5), applicando poi al vettore u, si ha, te- 

 nendo conto della (9) ed osservando che Kd<x . u = d(Kou) — Kg. da: 



d(K<m) — K<y . du — K<M«' , dP') . K<m — Ko- . KO> P (a , di 3 ) u = 



= r*,(a' , a'- 1 K<ru) dP' — Kg . r*(a , a-'u) dP , 



da cui' segue la (11), dopo aver operato con Kg -1 . La (11') si deduce 

 dalla (11) in modo ovvio. 



Secondo il solito comune linguaggio, i primi membri delle (11), (11') 

 sono rispettivamente il differenziale e la derivata covariante di u ri- 

 spetto a P. 



