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Matematica. — Sulle equazioni integrali. Nota VI di Pia 

 Nalli, presentata dal Socio S. Pincherle. 



21. Siano ju lt ; jU s ,... costanti caratteristiche proprie relative a K(s,/) 

 e k(s) e /",(.<? , t) , JT 2 (s ,/),... le corrispondenti funzioni caratteristiche; sup- 

 poniamo che tra le fi n sia contenuto lo zero, se questo è una costante ca- 

 ratteristica propria. 



Dimostreremo che le due costanti deh, determinate: la prima al 

 n. 13 della Nota II e la seconda al n. 19 della Nota III, soddisfano alla 



disuguaglianza -<d, qualunque sieno i valori V ed X . Ci occuperemo 



tv 



poi in particolare del caso in cui è hd=\ ( 1 ). 



22. Per potere parlare delle due costanti deh bisogna supporre 



Ricordiamo la relazione (4) della Nota I: 



f f/n{s) /m(s) ds= f g„- r {s) f m +r{s) ds , 



J a J a 



che lega le iterate di due funzioni g (s) e f (s) , e, rissato n, prendiamo 

 == B„(y , s) , g (v) = D,(y , t) , dove s e t si tengono costanti. 

 Avremo, per p < a — 1 e # > , 



f p (v) = B„_ p (y , s) , = D 9+1 (y , t) , 



quindi l'eguaglianza 



\ f (v) g m -i(v) dv= f /„_i(t>) g m - n {v) dv 



diventa 



( B n (y , s) D m (v .t)dv= f B,(y , s) D m _ M+1 ( ■<? , /) rfv , 



e siccome B,(«,s) non è altro che Di(v , s) e per la (24) della Nota II 

 si ha 



| Bi(v , s) D M _ B+1 (» , <fo = D m _„ +S (s , *) — k(s) D m _„ +1 (s , <) , 



• a 



sarà 



D m _ il+2 (s , t) — D m _„ +1 (s , t) == B„(y , s) D m (y , *)-dy . 



(') A questo proposito non è inutile far notare che se zero è una costante carat- 

 teristica propria, il valore di d , determinato nella Nota II, non cambia introducendo 

 nella successione delle fi n il termine zero, quando questo non è già contenuto nella suc- 

 cessione stessa. 



