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Facendo qui m = n = 2r troviamo 



(41) . D 2 (s,t)-mih(s.t) = (hdy£ B *f r ^^^ 



dv 



Se fosse hd<C_l, siccome l'integrale del secondo membro al tendere di r 

 ad oo converge in media verso f B(v , s) T>(v , i) dv , il secondo membro 



J a 



della (41) convergerebbe in media verso zero, quindi si avrebbe 



D 2 (s,0 — A(s) D,(s , <) = , cioè f Di(y,s) D 1 (»,0^y=^0 



e finalmente D,(s ,0 = 0. contrariamente al supposto. 

 Sarà dunque M_> 1, come volevamo dimostrare. 

 Supponiamo ora hd = \. 



Dalla (41) si concluderebbe ancora D t (s , t) — k{s) Dj(s , t) — se una 

 delle due funzioni B(s , t) , D(s , £) fosse nulla : queste due funzioni saranno 

 dunque entrambe non identicamente nulle. La (41) ci dà, facendo tendere 

 r ad oo , 



(42) pDi(v , s) D 1 (t> ,t)dv= f b B(y , s) T>{v J) dv . 



<J a ^ a 



Se una sola dellejdue costanti zt -\/d è costante caratteristica relativa a 

 K(s , t) e #(«), siccome j/dJ)(s ,t) e j/A B(s , 2) (\/d e yh avendo lo stesso 

 segno) sono entrambe funzioni caratteristiche corrispondenti alla costante \/d, 

 avremo 



)/d D(5 , t) = j/h B(s , t) = r(s , t) 



e la (42) ci darà 



f D,(y , s) D,(v ,t)dv= ( V(y . 5) r(t> , <) . 



Ma si deve anche avere 



f *D,(t> , s) r(v . t) dv = Ck(v , s) r{v , t) dv , 



J a J a 



quindi 



f & D,(v , s) r(t> , t) dv = (]/d — k(sj) r(s , 



o finalmente 



f b D,(y , s) r(v ,t)dv= fV(» i «) , rf» • 



J a J a 



